[命題報告·教師用書獨具]
一、選擇題
1．化簡：＋log2，得( )
a．2b．2－2log23
c．－2 d．2log23－2
解析：＝＝|log23－2|＝2－log23，而log2＝－log23，則兩者相加即為b項．
答案：b
2．(2023年合肥模擬)函式y＝的大致圖象是( )
解析：由於＝－，所以函式y＝是奇函式，其圖象關於原點對稱．當x>0時，對函式求導可知函式圖象先增後減，結合選項可知選c.
答案：c
3．(2023年溫州模擬)已知函式f(x)＝，則f＝( )
a. b．e
c．－ d．－e
解析：由題意得，f＝f＝f(－1)＝e－1＝.
答案：a
4．已知a＝log0.70.9，b＝log1.10.7，c＝1.10.9，則a，b，c的大小關係為( )
a．ac．b解析：因為b＝log1.10.70＝log0.711.10＝1.所以b答案：c
5．設實數a，b是關於x的方程|lg x|＝c的兩個不同實數根，且aa．(0,1) b．(1,10)
c．(10,100) d．(1,100)
解析：由圖象可知，0又因為|lg a|＝c，|lg b|＝c，
所以lg a＝－c，lg b＝c，即lg a＋lg b＝0，
所以ab＝1，於是abc＝c.
而c＝|lg x|≤lg b<1，所以0答案：a
二、填空題
6．(2023年建陽模擬)若a>0，a＝，則loga
解析：∵a＝，
∴loga＝log，
∴loga＝log2＝2，
∴loga＝3.
答案：3
7．已知函式f(x)＝則使函式f(x)的圖象位於直線y＝1上方的x的取值範圍是________．
解析：當x≤0時，3x＋1>1x＋1>0，
∴－1當x>0時，log2x>1x>2，∴x>2.
綜上所述，x的取值範圍為－12.
答案：8．(2023年平頂山模擬)定義在r上的奇函式f(x)，當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x，則不等式f(x)<－1的解集是________．
解析：由已知條件可知，當x∈(－∞，0)時，
f(x)＝－log2(－x)．
當x∈(0，＋∞)時，f(x)<－1，
即為log2x<－1，解得0當x∈(－∞，0)時，f(x)<－1，
即為－log2(－x)<－1，解得x<－2.
所以f(x)<－1的解集為(－∞，－2)∪.
答案：(－∞，－2)∪
9．(2023年蘇南四市聯考)已知函式f(x)＝|log2x|，正實數m，n滿足m解析：由已知得m＝，01，
∴[m2，n]＝，
f＝＝2|log2n|＝2f(n)．
所以f(x)在區間[m2，n]上的最大值為f＝2f(n)．
∴2|log2n|＝2.
∵n>1，∴n＝2，m＝.故n＋m＝.
答案：三、解答題
10．已知函式f (x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定義域；
(2)判斷f(x)的奇偶性並予以證明．
解析：(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
則解得－1故所求函式f(x)的定義域為{x|－1(2)由(1)知f(x)的定義域為{x|－1且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
故f(x)為奇函式．
11．設x∈[2,8]時，函式f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解析：由題意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)＝(logx＋3logax＋2)＝2－.
當f(x)取最小值－時，logax＝－，
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是關於logax的二次函式，
∴函式f(x)的最大值必在x＝2或x＝8時取得．
若2－＝1，則a＝2－，
此時f(x)取得最小值時，x＝(2－)－＝[2,8]，捨去．
若2－＝1，則a＝，
此時f(x)取得最小值時，x＝－＝2∈[2,8]，符合題意，
∴a＝.
12．(能力提公升)已知函式f(x)＝loga(x＋1)(a>1)，若函式y＝g(x)圖象上任意一點p關於原點對稱的點q的軌跡恰好是函式f(x)的圖象．
(1)寫出函式g(x)的解析式；
(2)當x∈[0,1)時總有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值範圍．
解析：(1)設p(x，y)為g(x)圖象上任意一點，
則q(－x，－y)是點p關於原點的對稱點，
∵q(－x，－y)在f(x)的圖象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，
即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
設f(x)＝loga，x∈[0,1)，由題意知，
只要f(x)min≥m即可．∵ f(x)在[0,1)上是增函式，
∴f(x)min＝f(0)＝0.故m≤0即為所求．
[因材施教·學生備選練習]
1．(2023年合肥模擬)函式f(x)＝－2ln的圖象可能是( )
解析：由》0得函式的定義域為(－1,1)，
因此排除選項a、b，
又因為y＝＝－1＋在(0,1)上單調遞增，
所以f(x)在(0,1)上單調遞減，由此排除c選項，故選d.
答案：d
2．(2023年淄博模擬)設方程log4x－x＝0，logx－x＝0的根分別為x1，x2則( )
a．0c．1解析：依題意得log4x1－x1＝0，
logx2－x2＝0，
即log4x1＝x1，logx2＝x2，
由圖象可知0所以log4x1＝x1，log4x2＝－x2，
於是log4x1＋log4x2＝x1－x2，
即log4(x1x2)＝x1－x2，
而x1所以log4(x1x2)<0，即0答案：a
3．已知函式f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈r)是偶函式．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值範圍．
解析：(1)由函式f(x)是偶函式，可知f(x)＝f(－x)，
∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，
即log4＝－4kx，
∴log4 4x＝－4kx，∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，
對一切x∈r恆成立，∴k＝－.
(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x
＝log4＝log4，
∵2x＋≥2，∴m≥log42＝.
故要使方程f(x)＝m有解，m的取值範圍為.
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