直線系（1）平行直線系：與ax＋by＋c＝0平行的直線為：ax＋by＋c1＝0(c1≠c)．
（2）垂直直線系：與ax＋by＋c＝0垂直的直線為：bx－ay＋c1＝0．
（3）定點直線系：若l1：a1x＋b1y＋c1＝0和l2：a2x＋b2y＋c2＝0相交，則過交點的直線為a1x＋b1y＋c1＋λ(a2x＋b2y＋c2)＝0，
交點為方程組的解．
直線系問題
一、過定點的直線系
設定點p(x0,y0)
1、用斜率k作引數的直線系方程
y-y0=k(x-x0)
(不包括無斜率的直線)
2、用a、b作引數的直線系方程
a(x-x0)+b(y-y0)=0
(a、b不全為0
例：求經過p(1,2)的直線l,使點a(3,3)和b(5,2)到它的距離相等.
思路一:
①設斜率k,用點斜式,
②再由點距公式列方程,
③求k出即可.
思路二:分類討論
①設斜率k,用點斜式,
②當l∥ab時,由斜率相等可得k;
當l過ab的中點時,把ab中點座標代入l方程,可解得k.
二、平行線系
1、斜率是k的直線系方程
y=kx+b (b為引數)
2、平行於ax+by+c=0的直線系方程為
ax+by+λ=0 (λ為引數)
3、垂直於ax+by+c=0的直線系方程為
bx-ay+λ=0 (λ為引數)
三、過兩直線交點的直線系
設l1: a1x+b1y+c1=0
l2: a2x+b2y+c2=0
①m(a1x+b1y+c1)+n(a2x+b2y+c2)=0
(m、n是引數)
②a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0
(λ是引數但不包括l2)
例：已知3a+2b=1,
求證：直線ax+by+2(x-y)-1=0過定點,並求該定點座標.
思路一：
由3a+2b=1得:b= (1-3a)
代入直線系方程ax+by+2(x-y)-1=0
整理得(2x –y-1)+a(x -y)=0
由, 得交點(1,)
∴直線過定點(1,).
思路二：賦值法
令a=0得b=
得l1: 2x - y-1=0
令b=0得a=
得l2: x –y=0
由, 得交點(1,)
把交點座標代入原直線方程左邊得:
左邊= (3a+2b-1)
∵3a+2b-1=0
∴左邊=0
這說明只要3a+2b-1=0
原直線過定點(1,).
例:求證:無論λ為何值,
直線(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0
與點p(-2,2)的距離d都小於4.
證明：將直線方程按引數λ整理得
(2x-y-6)+λ(x-y-4)=0
故該直線系恆過二直線2x-y-6=0和x-y-4=0的交點m
易解得m(2,-2)
求得|pm|=4
所以d≤4
而過點m垂直pm的直線方程為x-y-4=0,
又無論λ為何值,題設直線系方程都不可能表示直線x-y-4=0
∴d<4
【注】此題若按常規思路,運用點距公式求解,則運算量很大,難算結果,運用直線繫過定點巧妙獲解.
例題：例、
（1）證明直線l過定點；
（2）若直線l交x軸負半軸於a，交y軸正半軸於b，△aob的面積為s，求s的最小值，並求此時直線l的方程；
（3）若直線不經過第四象限，求k的取值範圍。
分析：（1）證直線繫過定點，可用分離引數法。
（2）求△aob面積s的最小值，應先求出目標函式s＝f(k)，再根據目標函式的結構特徵選擇最小值的求法。
（3）直線不經過第四象限的充要條件是：直線在x軸上的截距小於或等於-2，在y軸上的截距大於或等於1。或由直線經過定點（-2，1）知斜率大於或等於零。
解：（1）直線l的方程是：
∴無論k取何值，直線總經過定點（-2，1）
（2）由l的方程，得：
解得：k＞0
解之得：k＞0
小結：本題證明直線繫過定點問題所使用的「分離引數法」，也是證明曲線繫過定點的一般方法。
例、已知p（1，3），直線l：x－4y＋1＝0
（1）求過p且平行於l的直線l1的方程；
（2）求過p且垂直於l的直線l2的方程．
策略：由l1∥l的斜率關係可得＝，由l2⊥l的斜率關係得＝－4，再利用點斜式方程可求出直線l1，l2的方程．由平行直線系與垂直直線系可以求出l1，l2的方程．
解法一：（1）∵直線l的斜率為且l1∥l，
∴直線l1的斜率k1＝
又∵l1過p（1，3），
∴l1的方程為y－3＝(x－1)，即x－4y＋11＝0．
(2)∵kl≠且l2⊥l，
∴直線l2的斜率為k2＝－4
又∵l2過p(1，3)
∴l2的方程為y－3＝－4(x－1)
即4x＋y－7＝0．
解法二：（1）∵l1∥l且l方程為x－4y＋1＝0
∴設l1的方程為x－4y＋c＝0
又∵p(1，3)在l1上
∴1－4×3＋c＝0
解得c＝11
∴l1的方程為x－4y＋11＝0．
(2)∵l2⊥l
∴設l2的方程為4x＋y＋c＝0
又∵l2過p（1，3）
∴4×1＋3＋c＝0
解得c＝－7
∴l2的方程為4x＋y－7＝0．
評注：一般地，利用平行直線系和垂直直線系求直線方程會給計算帶來很大方便．
例、求證：不論m為何實數，直線l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恆過一定點，並求出此定點座標．
策略：對於這類題目，只要找出兩條相交的直線，然後解出交點座標即可．
證法一：（特殊值法）
當m＝1時，直線l的方程為y＝－4；
當m＝時，直線l的方程為x＝9；
∴兩直線的交點為（9，－4），滿足直線l的方程(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5
∴不論m為何實數，直線l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恆過一定點（9，－4）．
證法二：（直線繫法）
將方程(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5整理得
m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0
解方程組得
∴不論m為何實數，定點(9，－4)恆滿足方程(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5．
即不論m為何實數，直線l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恆過一定點（9，－4）．
評注：求某直線過定點的題目，常用的兩種方法——特殊值法和直線繫法．
例、求經過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點p，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．
策略：①可以先解方程組求出交點p，再利用l⊥l3求出斜率，用點斜式求l方程；②求出p點後，用垂直直線系求l方程；③先由過l1，l2的交點的直線系設出l方程，然後由l3⊥l求係數．
解法一：解方程組得交點p（0，2）
∵k3＝∴kl＝－
由點斜式得l：y－2＝－x即4x＋3y－6＝0．
解法二：設所求直線l：4x＋3y＋c＝0
由解法一知：p(0，2）代入方程，得c＝－6
∴l：4x＋3y－6＝0．
解法三：設所求直線l：(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0
整理得(λ＋1)x＋(λ－2)y－2λ＋4＝0
∵l⊥l3
∴3(λ＋1)－4(λ－2)＝0
∴λ＝11
∴l的方程為：(x－2y＋4)＋11(x＋y－2)＝0
即4x＋3y－6＝0．
評注：解法一是常規解法，解法二用待定係數法，解法三應用了經過兩直線交點的直線系方程，省去了求兩直線交點的解方程組的運算．
利用直線系解題
一、直線系的定義
1、 共點直線系方程
經過兩直線
的交點的直線系方程為
2、 平行直線系方程
與直線3、 垂直直線系方程
與直線二、利用直線系解題
例題：(一)直接應用
1、 求過點a(1，-4)且與直線平行直線方程。(課本第45頁例2) ()
2、 求過點a(2,1)，且與直線垂直的直線方程。(課本第46頁例4) ()
3、 求經過兩條直線和的交點，且垂直於直線的直線方程。(課本第54頁第11題第1小題)( )
4、 經過兩條直線和的交點，且平行於直線的直線方程。(課本第54頁第11題第2小題)(
5、 經過直線和的交點，且垂直於第一條直線的直線方程。(課本第54頁第11題第3小題)( )
6、 求平行於直線且與它的距離為的直線方程。(課本第87頁第13題) (或
)(二)間接應用
7、 當a為任意實數時，直線恆過的定點為______。
解：直線的方程可以化為，由直線系的定義我們知道：直線過的點是方程組
的解，這樣我們就可以知道直線過點(-2,3)。
8、已知圓c：及直線
證明：無論m為任
何實數，直線恆與圓c相交。
分析：判斷直線與圓的位置關係通常採用「法」，或「比
較d與r法「，特別是「法」運算量往往很大，當發現直線過定點，且此定點又在圓內部時，妙解應運而生。
證明：易證直線過定點m(3,2)，且
<4，即點m在圓c內，點m又在直線上，故不論m
為任何實數，直線與圓c相交。
9、a、b滿足什麼條件時，使得對於任意實數m,直線：
與曲線c：總有公共點。
分析：本題雖然可以用「法」來解，但不僅運算量大(兩次使用判別式)，而且還容易忽視對二次不等式係數的討論而造成失解，如果利用直線過定點(0，b)，並使該點在橢圓c上或在其內部便可達到目的。
解：易知直線：過點m(0，b)，欲使與橢圓c恒有公共點，須使點在橢圓c上或在其內部，於是有即時，對於任意實數m,直線與橢圓c恒有公共點。
2023年高考數學知識點總結,高考數學複習
高中數學第一章 集合 數學探索版權所有考試內容 數學探索版權所有集合 子集 補集 交集 並集 數學探索版權所有邏輯聯結詞 四種命題 充分條件和必要條件 數學探索版權所有考試要求 榆林教學資源網 數學探索版權所有理解集合 子集 補集 交集 並集的概念 了解空集和全集的意義 了解屬於 包含 相等關係的意...
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1.函式的奇偶性 1 若f x 是偶函式，那麼f x f x 2 若f x 是奇函式，0在其定義域內，則 f 0 0 可用於求引數 3 判斷函式奇偶性可用定義的等價形式 f x f x 0或 f x 0 4 若所給函式的解析式較為複雜，應先化簡，再判斷其奇偶性 5 奇函式在對稱的單調區間內有相同的單...
2023年高考數學知識點彙總 文
一 集合與邏輯 1 區分集合中元素的形式 如 函式的定義域 函式的值域 數集，可以有交集，並集的運算 函式圖象上的點集，與數集沒有關係。如 1 設集合，集合n 則 答 2 設集合，則 答 2.集合的性質 任何乙個集合是它本身的子集,記為.空集是任何集合的子集,記為.空集是任何非空集合的真子集 注意 ...