[命題報告·教師用書獨具]
一、選擇題
1．已知函式y＝f(x)滿足：f(－2)>f(－1)，f(－1)a．函式y＝f(x)在區間[－2，－1]上單調遞減，在區間[－1,0]上單調遞增
b．函式y＝f(x)在區間[－2，－1]上單調遞增，在區間[－1,0]上單調遞減
c．函式y＝f(x)在區間[－2,0]上的最小值是f(－1)
d．以上的三個結論都不正確
解析：僅由幾個函式值的大小關係無法確定函式的單調性．故選d.
答案：d
2．函式y＝－x2＋2x－3(x<0)的單調增區間是( )
a．(0b．(－∞，1]
c．(－∞，0) d．(－∞，－1]
解析：二次函式的對稱軸為x＝1，又因為二次項係數為負數，拋物線開口向下，對稱軸在定義域的右側，所以其單調增區間為(－∞，0)．
答案：c
3．已知實數a＞0，且a≠1，函式f(x)＝loga |x|在(－∞，0)上是減函式，函式g(x)＝ax＋，則下列選項正確的是( )
a． g(－3)＜g(2)＜g(4) b．g(－3)＜g(4)＜g(2)
c．g(4)＜g(－3)＜g(2) d．g(2)＜g(－3)＜g(4)
解析：由函式y＝loga |x|在(－∞，0)上為減函式，可得a＞1，故g(－3)－g(2)＝(a－1)×＞0g(－3)＞g(2)，又g(4)－g(－3)＝(a－1)×＞0g(4)＞g(－3)，故有g(4)＞g(－3)＞g(2)．
答案：d
4．(2023年安慶模擬)函式f(x)＝ln (4＋3x－x2)的單調遞減區間是( )
a. b.
c. d.
解析：函式f(x)的定義域是(－1,4)，
u(x)＝－x2＋3x＋4＝－2＋的減區間為，
∴函式f(x)的單調減區間為.
答案：d
5．已知函式f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，則實數a的取值範圍是( )
a．(－∞，－1)∪(2b．(－1,2)
c．(－2,1) d．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：當x≥0時f(x)＝x2＋4x，可知f(x)在[0，＋∞)上遞增，當x<0時f(x)＝4x－x2，可判斷f(x)在(－∞，0)上遞增，故f(2－a2)>f(a)2－a2>a，即a2＋a－2<0.解得－2答案：
c二、填空題
6．函式y＝－(x－3)|x|的遞增區間是________．
解析：y＝－(x－3)|x|
＝作出該函式的圖象，觀察圖象知遞增區間為.
答案：7．若函式f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上為增函式，則實數a，b的取值範圍是________．
解析：要使f(x)在[0，＋∞)上為增函式，則a>0且x－b≥0恆成立，即b≤x，∴b≤0.
答案：a>0，b≤0
8．設函式f(x)＝在區間(－2，＋∞)上是增函式，那麼a的取值範圍是________．
解析：f(x)＝
＝a－，其對稱中心為(－2a，a)．
∴解得a≥1.
答案：[1，＋∞)
9．若f(x)為定義在r上的增函式，則滿足f(2－m)解析：∵f(x)在r上為增函式，∴2－m∴m2＋m－2>0，解得m>1或m<－2.
答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)
三、解答題
10．已知函式f(x)＝－(a>0，x>0)，
(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上是單調增函式；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
解析：(1)證明：設x2>x1>0，則x2－x1>0，
x1x2>0，∵f(x2)－f(x1)
＝－＝－＝>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增的．
(2)∵f(x)在上的值域是，又f(x)在上單調遞增，∴f＝，f(2)＝2.∴易得a＝.
11．已知函式f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函式，且滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1.
(1)求f(1)；
(2)若f(x)＋f(2－x)<2，求x的取值範圍．
解析：(1)令x＝y＝1，
則f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
(2)∵2＝1＋1＝f＋f＝f，
f[x(2－x)]解得1－即x的取值範圍為.
12．(能力提公升)已知f(x)是定義在[－1,1]上的奇函式，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0時，有》0成立．
(1)判斷f(x)在[－1,1]上的單調性，並證明；
(2)解不等式：f(x＋)(3)若f(x)≤m2－2am＋1對所有的a∈[－1,1]恆成立，求實數m的取值範圍．
解析：(1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1－x2∈[－1,1]，∵f(x)為奇函式，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝·(x1－x2)，
由已知得》0，x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[－1,1]上單調遞增．
(2)∵f(x)在[－1,1]上單調遞增，
∴(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上單調遞增．
∴在[－1,1]上，f(x)≤1.
問題轉化為m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0，對a∈[－1,1]成立．
設g(a)＝－2m·a＋m2≥0.
①若m＝0，則g(a)＝0≥0，對a∈[－1,1]恆成立．
②若m≠0，則g(a)為a的一次函式，若g(a)≥0，對a∈[－1,1]恆成立，必須g(－1)≥0且g(1)≥0，
∴m≤－2，或m≥2.
∴m的取值範圍是m＝0或m≥2或m≤－2.
[因材施教·學生備選練習]
1．已知函式f(x)＝(a>0，且a≠1)是r上的減函式，則a的取值範圍是( )
a．(0,1) b.
c. d.
解析：由f(x)在r上是減函式得，0答案：b
2．(2023年珠海質檢)已知a>0且a≠1，若函式f(x)＝loga(ax2－x)在[3,4]上是增函式，則a的取值範圍是________．
解析：由題意可知，當a>1時，y＝ax2－x在[3,4]上遞增，且y＝ax2－x>0恆成立，
即解得a>1.
當0且y＝ax2－x>0恆成立，即a無解．
綜上：a>1.
答案：(1，＋∞)
3．若函式f(x)＝在區間(m,2m＋1)上是單調遞增函式，則m的取值範圍是________．
解析：∵f′(x)＝，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，
∴f(x)的遞增區間為(－1,1)．
又∵f(x)在(m,2m＋1)上單調遞增，
∴解得－1≤m≤0.
∵在區間(m,2m＋1)中2m＋1＞m，∴m＞－1.
綜上，－1＜m≤0.
答案：(－1,0]
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