第四十二講拋物線
一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題後的括號內．)
1．設斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點f，且和y軸交於點a，若△oaf(o為座標原點)的面積為4，則拋物線方程為( )
a．y2＝±4b．y2＝±8x
c．y2＝4xd．y2＝8x
解析：y2＝ax的焦點座標為.過焦點且斜率為2的直線方程為y＝2，令x＝0得：y＝－.
∴×·＝4，
∴a2＝64，
∴a＝±8，故選b.
答案：b
2．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點p到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( )
a．2b．3
cd.解析：如圖所示，動點p到l2：x＝－1的距離可轉化為p到f的距離，由圖可知，距離和的最小值即f到直線l1的距離d＝＝2，故選a.
答案：a
3．拋物線y2＝4x的焦點為f，準線為l，經過f且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交於點a，ak⊥l，垂足為k，則△akf的面積是( )
a．4b．3
c．4d．8
解析：拋物線y2＝4x的焦點為f(1,0)，準線為l：x＝－1，經過f且斜率為的直線y＝(x－1)與拋物線在x軸上方的部分相交於點a(3,2)，ak⊥l，垂足為k(－1,2)，∴△akf的面積是4.
故選c.
答案：c
4．若拋物線y2＝4x的焦點是f，準線是l，則經過點f、m(4,4)且與l相切的圓共有( )
a．0個b．1個
c．2個d．4個
解析：經過f、m的圓的圓心**段fm的垂直平分線上，設圓心為c，則|cf|＝|cm|，又圓c與l相切，所以c到l距離等於|cf|，從而c在拋物線y2＝4x上．
故圓心為fm的垂直平分線與拋物線的交點，顯然有兩個交點，所以共有兩個圓，故選c.
答案：c
5．設f為拋物線y2＝4x的焦點，a、b、c為該拋物線上三點，若＝0，則等於( )
a．9b．6
c．4d．3
解析：設a、b、c三點的座標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，f(1,0)．
∵＝0，∴x1＋x2＋x3＝3.
又由拋物線定義知＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6，故選b.
答案：b
6．設拋物線y2＝2x的焦點為f，過點m(，0)的直線與拋物線相交於a，b兩點，與拋物線的準線相交於點c，|bf|＝2，則△bcf與△acf的面積之比等於( )
ab.cd.
解析：由|bf|＝2小於點m到準線的距離知點b在a、c之間，由拋物線的定義知點b的橫座標為，代入得y2＝3，則b，另一種可能是，那麼此時直線ac的方程為＝，即y＝，把y＝代入y2＝2x，可得2x2－7x＋6＝0，可得x＝2，則有y＝2，即a(2,2)，那麼s△bcf s△acf＝|bc| |ac|＝ ＝4 5，故選a.
答案：a
二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題後的橫線上．)
7．已知拋物線型拱的頂點距離水面2公尺時，測量水面寬為8公尺，當水面上公升公尺後，水面的寬度是________．
解析：設拋物線方程為x2＝－2py，將(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，
故方程為x2＝－8y，水面上公升公尺，則y＝－，代入方程，得x2＝－8×＝12，x＝±2.故水面寬4公尺．
答案：4公尺
8．點p到a(1,0)和直線x＝－1的距離相等，且點p到直線l：y＝x的距離等於，則這樣的點p的個數為________．
解析：由拋物線定義，知點p的軌跡為拋物線，其方程為y2＝4x，設點p的座標為，由點到直線的距離公式，知＝，即y－4y0±4＝0，易知y0有三個解，故點p個數有三個．
答案：3
9．已知f為拋物線c：y2＝4x的焦點，過f且斜率為1的直線交c於a、b兩點．設|fa|>|fb|，則|fa|與|fb|的比值等於________．
解析：拋物線c：y2＝4x的焦點f(1,0)，準線方程：x＝－1，如圖，
則直線ab的方程為y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，①
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1，x2是方程①的兩根，
∴x1x2＝1，x1＝3＋2.
根據拋物線定義，得|fa|＝x1＋1，
|fb|＝x2＋1(x1>x2)，
∴＝＝＝＝x1＝3＋2.
答案：3＋2
10．設x1、x2∈r，常數a＞0，定義運算「*」：x1]x*a))的軌跡方程是________．
解析：由y＝，得y2＝x*a＝(x＋a)2－(x－a)2＝4ax(y≥0)．
答案：y2＝4ax(y≥0)
三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)
11．a、b是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，且oa⊥ob.
(1)求a、b兩點的橫座標之積和縱座標之積；
(2)求證：直線ab過定點；
(3)求弦ab中點p的軌跡方程；
(4)求△aob面積的最小值．
解：設a(x1，y1)，b(x2，y2)，中點p(x0，y0)．
(1)koa＝，kob＝.
∵oa⊥ob，∴koa·kob＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y＝2px1，y＝2px2，∴·＋y1y2＝0.
∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
(2)∵y＝2px1，y＝2px2，
∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．
∴＝，∴kab＝.
∴直線ab：y－y1＝(x－x1)．
∴y＝＋y1－.
∴y＝＋.
∵y＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝＋.
∴y＝(x－2p)．
∴ab過定點(2p,0)．
(3)如圖，設oa：y＝kx，代入y2＝2px得：x＝0或x＝，
∴a.同理，以－代k得b(2pk2，－2pk)．
設中點座標p(x0，y0)，
∴.∵k2＋＝2＋2，∴＝2＋2，
即y＝px0－2p2.
∴中點p的軌跡方程為y2＝px－2p2.
(4)設m(2p,0)，s△aob＝s△aom＋s△bom＝|om|(|y1|＋|y2|)＝p(|y1|＋|y2|)≥2p＝4p2，當且僅當|y1|＝|y2|＝2p時，等號成立．
評析：解決直線與拋物線的有關問題時要注意以下幾點：①設拋物線上的點為(x1，y1)，(x2，y2)；②因為(x1，y1)，(x2，y2)都在拋物線上，故滿足y＝2px1，y＝2px2；③利用yy＝4p2x1x2可以整體得到y1y2或x1x2.
12．是否存在同時滿足下列條件的拋物線：①準線是y軸；②頂點在x軸上；③點a(3,0)到該拋物線上的動點p的距離的最小值為2？如果存在，求出拋物線方程；如果不存在，說明理由．
解：設滿足條件的拋物線存在，頂點b在x軸上．
設b(a,0)，以y軸為準線的拋物線方程為
y2＝4a(x－a)，由條件知a>0.
設p是拋物線上的點，其座標為.
則|ap|2＝2＋m2
＝[m2－12(a－a2)]2＋12a－8a2，
∴當a－a2≥0，即0＜a≤1，
且m2＝12(a－a2)時，|ap|min＝.
∴＝2，解得a＝1或a＝.
此時拋物線方程為y2＝4(x－1)或y2＝2.
當a－a2<0，即a>1，且m＝0時，
|ap|min＝|a－3|＝2.
∴a＝5，此時拋物線方程為y2＝20(x－5)，
∴存在滿足條件的拋物線，其方程為
y2＝4(x－1)或y2＝2或y2＝20(x－5)．
13．(2010·福建)已知拋物線c：y2＝2px(p>0)過點a(1，－2)．
(1)求拋物線c的方程，並求其準線方程；
(2)是否存在平行於oa(o為座標原點)的直線l，使得直線l與拋物線c有公共點，且直線oa與l的距離等於？若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．
解：(1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.
故所求拋物線c的方程為y2＝4x，其準線方程為x＝－1.
(2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t，
由得y2＋2y－2t＝0.
因為直線l與拋物線c有公共點，所以δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
由直線oa與l的距離d＝可得＝，解得t＝±1.
因為－1，1∈，
所以符合題意的直線l存在，其方程為2x＋y－1＝0.
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