山東省2023年高中學業水平考試
數學知識點總結
老師的話：
同學們，學業水平考試快到了！如何把數學複習好？老師告訴你：回到課本中去！
翻開課本，可以重溫學習的歷程，回憶學習的情節，知識因此被啟用，聯想由此而產生。課本是命題的依據，學業水平考試試題難度不大，大多是在課本的基礎上組合加工而成的。因此，離開書本的複習是無源之水，那麼如何運用課本呢？
複習不是簡單的重複，你們應做到以下6點：
1、在複習每一專題時，必須聯絡課本中的相應部分。不僅要弄懂課本提供的知識和方法，還要弄清定理、公式的推導過程和例題的求解過程，揭示例、習題之間的聯絡及變換
2、在做訓練題時，如果遇到障礙，應有查閱課本的習慣，通過課本查明我們在知識和方法上的缺陷，盡可能把問題回歸為課本中的例題和習題
3、在複習訓練的過程中，我們會積累很多解題經驗和方法，其中不少是規律性的東西，要注意從課本中探尋這些經驗、方法和規律的依據
4、注意在複習的各個環節，既要以課本為出發點，又要不斷豐富課本的內涵，揭示課本內涵與試題之間的聯絡
5、關於解題的表達方式，應以課本為標準。很多複習資料中關鍵步驟的省略、符號的濫用、語言的隨意性和**法的泛化等，都是不可取的，就通過課本來規範
6、注意通過對課本題目改變設問方式、增加或減少變動因素和必要的引申、推廣來擴大題目的訓練功能。現行課本一般是常規解答題，應從選擇、填空、探索等題型功能上進行思考，並從背景、現實、**等方面加以解釋
必修一一、集合
1. 對於集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的「確定性、互異性、無序性」。
中元素各表示什麼？
注重借助於數軸和文氏**集合問題。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3 注意下列性質：
4. 你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）
5. 一元一次不等式的解法：已知關於的不等式的解集為，則關於的不等式的解集為_______（答：）
6. 一元二次不等式的解集：解關於的不等式：。
（答：當時，；當時，或；當時，；當時，；當時，）
7. 對於方程有實數解的問題。（1）對一切恆成立，則的取值範圍是_______（答：）；（2）若在內有兩個不等的實根滿足等式，則實數的範圍是_______.（答：）
二、函式
1．對映：注意 ①第乙個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。
2.函式: ab是特殊的對映。若函式的定義域、值域都是閉區間，則＝ （答：2）
3.研究函式問題時要樹立定義域優先的原則：
（1）函式的定義域是____(答：)；
（2）設函式，①若的定義域是r，求實數的取值範圍；②若的值域是r，求實數的取值範圍（答：①；②）
（3）復合函式的定義域：①若函式的定義域為，則的定義域為答：）；②若函式的定義域為，則函式的定義域為________（答：[1,5]）．
4.求函式值域（最值）的方法：
（1）配方法―①當時，函式在時取得最大值，則的取值範圍是___（答：）；
（2）換元法①的值域為_____（答：）；②的值域為_____（答：）（令，。運用換元法時，要特別要注意新元的範圍）；的值域為____（答：）；的值域為____（答：）；
（3）函式有界性法―求函式，，的值域（答：、（0,1）、）；
（4）單調性法――求，的值域為______（答：、）；
（5）數形結合法――已知點在圓上，求及的取值範圍（答：、）；
（6）不等式法―設成等差數列，成等比數列，則的取值範圍是答：）。
5.分段函式的概念。（1）設函式，則使得的自變數的取值範圍是____（答：）；（2）已知，則不等式的解集是___（答：）
6.求函式解析式的常用方法：
（1）待定係數法―已知為二次函式，且，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式 。（答：）
（2）配湊法―①已知求的解析式___（答：）；②若，則函式=___（答：）；
（3）方程的思想―已知，求的解析式（答：）；
7. 函式的奇偶性⑴函式的定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件；
⑵是奇函式；
⑶是偶函式；
⑷奇函式在原點有定義，則；
⑸在關於原點對稱的單調區間內：奇函式有相同的單調性，偶函式有相反的單調性；
（6）若所給函式的解析式較為複雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性；
8.函式的單調性。
如何用定義證明函式的單調性？（取值、作差、判正負）
如何判斷復合函式的單調性？
（外層），（內層），則
當內、外層函式單調性相同時，為增函式，否則為減函式
如：求的單調區間。
設，由，則且，，如圖
當時，，又，∴
當時，，又，∴
∴……）
9. 函式圖象⑴圖象作法 ：①描點法（注意三角函式的五點作圖）②圖象變換法③導數法
⑵圖象變換：
1 平移變換：ⅰ，———左「+」右「-」；
上「+」下「-」；
2 伸縮變換：
ⅰ， （———縱座標不變，橫座標伸長為原來的倍；
ⅱ， （———橫座標不變，縱座標伸長為原來的倍；
3 對稱變換：ⅰ ；ⅱ ；
ⅲ； ⅳ；
4 翻轉變換：
ⅰ———右不動，右向左翻（在左側圖象去掉）；
ⅱ———上不動，下向上翻（||在下面無圖象）；
10．常用函式的圖象和性質
（1）（2）反比例函式：推廣為是中心的雙曲線。
（3）二次函式的影象為拋物線
頂點座標為，對稱軸
開口方向：，向上，函式
向下，應用：①「三個二次」（二次函式、二次方程、二次不等式）的關係——二次方程，時，兩根為二次函式的影象與軸的兩個交點，也是二次不等式解集的端點值。
②求閉區間［m，n］上的最值。
③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。
④一元二次方程根的分布問題。
如：二次方程的兩根都大於，一根大於，一根小於
（4）指數函式：
（5）對數函式：
由圖象記性質！（注意底數的限定！）
（6）「對勾函式」
利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什麼？
必修二一、 立體幾何
1．平行、垂直關係證明的思路
平行垂直的證明主要利用線面關係的轉化：
線面平行的判定：
線面平行的性質：
三垂線定理（及逆定理）：
，為在**影，，則
線面垂直：
面面垂直：，
2．三類角的定義及求法
（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（3）二面角：二面角的平面角
三垂線定理法：a∈α作或證ab⊥β於b，作bo⊥稜於o，連ao，則ao⊥稜l，∴∠aob為所求。
三類角的求法：
①找出或作出有關的角。
②證明其符合定義，並指出所求作的角。
③計算大小（解直角三角形，或用餘弦定理）。
［練習］
（1）如圖，oa為α的斜線ob為其在α**影，oc為α內過o點任一直線。證明：
為線面成角，
（2）如圖，正四稜柱abcd—a1b1c1d1中對角線bd1＝8，bd1與側面b1bcc1所成的為30°。
①求bd1和底面abcd所成的角；
②求異面直線bd1和ad所成的角；
③求二面角c1—bd1—b1的大小。
（3）如圖abcd為菱形，∠dab＝60°，pd⊥面abcd，且pd＝ad，求面pab與面pcd所成的銳二面角的大小。
∵ab∥dc，p為面pab與面pcd的公共點，作pf∥ab，則pf為面pcd與面pab的交線……
3．空間距離
點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。
將空間距離轉化為兩點的距離，構造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者用等積轉化法）。
如：正方形abcd—a1b1c1d1中，稜長為a，則：
（1）點c到面ab1c1的距離為
（2）點b到面acb1的距離為
（3）直線a1d1到面ab1c1的距離為
（4）面ab1c與面a1dc1的距離為
（5）點b到直線a1c1的距離為
4．正稜柱、正稜錐的定義性質
正稜柱——底面為正多邊形的直稜柱
正稜錐——底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。
正稜錐的計算集中在四個直角三角形中：
和它們各包含哪些元素？
（—底面周長，為斜高），
5．球的性質
（1）球心和截面圓心的連線垂直於截面
（2）球面上兩點的距離是經過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角！
（3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經度角，它是麵麵成角。
（4） （5）球內接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑r與內切球半徑r之比為r：r＝3：1。
如：一正四面體的稜長均為，四個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為
abcd．
答案：a
二解析幾何
1．熟記下列公式
（1）直線的傾斜角，，是上兩點，直線的方向向量
（2）直線方程：
點斜式：（存在）
斜截式：
截距式：
一般式：（不同時為零）
（3）點到直線：的距離
（4）到的到角公式：；與的夾角公式：
2．如何判斷兩直線平行、垂直？
，（反之不一定成立）
， 3．怎樣判斷直線l與圓c的位置關係？
圓心到直線的距離與圓的半徑比較。
直線與圓相交時，注意利用圓的「垂徑定理」。
必修三一、演算法初步
1．構成程式框的圖形符號及其作用
2、演算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、迴圈結構。
①順序結構條件結構迴圈結構：
r=0? 否求n除以i的餘數
輸入n是
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