立體幾何知識要點
一、知識提綱
（一）空間的直線與平面
⒈平面的基本性質 ⑴三個公理及公理三的三個推論和它們的用途． ⑵斜二測畫法．
⒉空間兩條直線的位置關係：相交直線、平行直線、異面直線．
⑴公理四（平行線的傳遞性）．等角定理．
⑵異面直線的判定：判定定理、反證法．
⑶異面直線所成的角：定義（求法）、範圍．
⒊直線和平面平行直線和平面的位置關係、直線和平面平行的判定與性質．
⒋直線和平面垂直
⑴直線和平面垂直：定義、判定定理．
⑵三垂線定理及逆定理．
5.平面和平面平行
兩個平面的位置關係、兩個平面平行的判定與性質．
6.平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性質定理．
（二）直線與平面的平行和垂直的證明思路（見附圖）
（三）夾角與距離
7.直線和平面所成的角與二面角
⑴平面的斜線和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜線和平
面所成的角、直線和平面所成的角．
⑵二面角：①定義、範圍、二面角的平面角、直二面角．
②互相垂直的平面及其判定定理、性質定理．
8.距離
⑴點到平面的距離．
⑵直線到與它平行平面的距離．
⑶兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線、公垂線段．
⑷異面直線的距離：異面直線的公垂線及其性質、公垂線段．
（四）簡單多面體與球
9.稜柱與稜錐
⑴多面體．
⑵稜柱與它的性質：稜柱、直稜柱、正稜柱、稜柱的性質．
⑶平行六面體與長方體：平行六面體、直平行六面體、長方體、正四稜柱、
正方體；平行六面體的性質、長方體的性質．
⑷稜錐與它的性質：稜錐、正稜錐、稜錐的性質、正稜錐的性質．
⑸直稜柱和正稜錐的直觀圖的畫法．
10.多面體尤拉定理的發現
⑴簡單多面體的尤拉公式．
⑵正多面體．
11.球
⑴球和它的性質：球體、球面、球的大圓、小圓、球面距離．
⑵球的體積公式和表面積公式．
二、常用結論、方法和公式
1.從一點o出發的三條射線oa、ob、oc，若∠aob=∠aoc，則點a在平面∠boc上的射影在∠boc的平分線上；
2. 已知:直二面角m－ab－n中，ae m，bf n,∠eab=,∠abf=，異面直線ae與bf所成的角為，則
3.立平斜公式：如圖，ab和平面所成的角是，ac在平面內，bc和ab的射影ba1成，設∠abc=,則coscos=cos；
4.異面直線所成角的求法：
（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；
（2）補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在於容易發現兩條異面直線間的關係；
5.直線與平面所成的角
斜線和平面所成的是乙個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產生線面角的關鍵；
6.二面角的求法
（1）定義法：直接在二面角的稜上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內作稜的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；
（2）三垂線法：已知二面角其中乙個麵內一點到乙個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與稜垂直；
（4）射影法：利用面積射影公式s射＝s原cos,其中為平面角的大小，此法不必在圖形中畫出平面角；
特別:對於一類沒有給出稜的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現稜，然後再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。
7.空間距離的求法
（1）兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然後再進行計算；
（2）求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；
（3）求點到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質來作，因此，確定已知面的垂面是關鍵；二是不作出公垂線，轉化為求三稜錐的高，利用等體積法列方程求解；
8.正稜錐的各側面與底面所成的角相等，記為，則s側cos=s底；
9.已知:長方體的體對角線與過同一頂點的三條稜所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1; 若長方體的體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2;
10.正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；
11.尤拉公式：如果簡單多面體的頂點數為v,面數為f,稜數為e.那麼v+f－e=2；並且稜數e＝各頂點連著的稜數和的一半＝各面邊數和的一半；
12.柱體的體積公式：柱體（稜柱、圓柱）的體積公式是v柱體=sh.其中s是柱體的底面積，h是柱體的高.
13.直稜柱的側面積和全面積
s直稜柱側= c (c表示底面周長，表示側稜長s稜柱全=s底+s側
14．稜錐的體積:v稜錐=，其中s是稜錐的底面積，h是稜錐的高。
15.球的體積公式v=，表面積公式；掌握球面上兩點a、b間的距離求法：（1）計算線段ab的長，（2）計算球心角∠aob的弧度數；(3)用弧長公式計算劣弧ab的長。
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