第十五章綜合檢測
一、選擇題（第小題5分，共40分）
1．1.已知z1=2－i,z2=1+3i，則複數的虛部為（ ）
a.1b.－
答案: c解：=i.
2．(1－i)2·i等於（ ）
a.2－2ib.2+2ic.－2d.2
答案:d解:(1－i)2·i=(1－2i+i2)·i=(1－2i－1)·i=－2i·i=(－2)×(－1)=2.
3．複數z1=3+i,z2=1－i，則z=z1·z2在復平面內的對應點位於（ ）
a.第一象限b.第二象限 c.第三象限d.第四象限
答案: d解:z1·z2=(3+i)·(1－i)=4－2i.
4．已知複數z與(z+2)2－8i均是純虛數,則z等於（ ）
a.2ib.－
答案:b解:設z=bi(b∈r且b≠0),則(z+2)2－8i=(bi+2)2－8i=b2i2+4bi+4－8i=(4－b2)+(4b－8)i.
∴∴ ∴b=－2.∴z=－2i.
5．定義：.若複數滿足，則等於
abcd.
答案：a
6．，若則的值是（ ）
a．2ibcd．
答案：a
7．設複數，則展開式的第五項是（ ）
a．-2ib．-21ic．35d．-35i
答案：c
8．設f(n)=()n+()n,n∈n,如果a,則滿足條件的集合a有（ ）
a.8個b.7個c.3個d.無窮多個
答案: a 解:∵f(n)=( )n+()n=in+(－i)n(n∈n)=
∴=.∵a=,
∴a的個數是23=8.
二、填空題（第小題5分，共30分，其中13~15是選做題，選做兩題）
9．的值等於
解: =2+3i.
10．若，其中是虛數單位，則a＋b
答案：3 提示：利用複數相等可得。
11．已知複數z = (1 – i)(2 – i)，則| z |的值是 ．
答案：12．已知實數x，y滿足條件，（為虛數單位），則的最小值是 ．
答案： 提示：幾何意義是可行域上的點到定點（1，-2）的距離的最小值。
13．（選做題）設z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (m∈r), 若z對應點在直線x-2y+1=0上, 則m的值是
[解析]: 設z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (m∈r), 若z對應點在直線x-2y+1=0上,
則log2(m2-3m-3)-2 log2(m-3)+1=0
故2（m2-3m-3）=(m-3)2
∴m=或m=-（不適合）
14．（選做題）若a≥0, 且z|z|+az+i=0, 則複數z
[解析]: 若a≥0, 且z|z|+az+i=0, 則z(|z|+a)+i=0, |z|+a>0,故 z為純虛數，
設z = yi (y , 則 (|y|+a)yi+i=0 故y2-y-1=0
yz =
15．（選做題）若t∈r, t≠-1, t≠0時,複數z =的模的取值範圍是 .
[解析]: 若t∈r, t≠-1, t≠0時,複數z =的模為|z|
則|z|2=
故z的模的取值範圍是
三、解答題（共80分）
16．（本題滿分13分）已知複數(2k2－3k－2)+(k2－k)i在復平面內對應的點在第二象限，則實數k的取值範圍.
解:∵複數對應的點在第二象限，
∴即…………12分
∴k的取值範圍為(－，0)∪(1，2). …………13分
17．（本題滿分13分）已知集合a=，b=|z|z=z1i+b，z1∈a，b∈r}．
（1）若a∩b=φ，求b的取值範圍；
（2）若a∩b=b，求b的值．
解：由b中元素z=z1i+b，得z1=-i(2z-2b)，∵z1∈a，∴|z-2|=|-i(2a-2b)-2|≤2，即|z-b-i|≤1，∴集合b是圓心在(b，1)，半徑為1的圓面，而a是圓在（2，0），半徑為2的圓面．
若a∩b=ф，則圓面a和圓面b相離，∴(b-2)2+1>9，∴b<2-2或b>2+2．………6分
若a∩b=b，∴ba，∴(b-2)2+1≤1，∴b=2．…………13分
18．（本題滿分13分）已知復平面上正方形的三個頂點是a（1，2）、b（－2，1）、c（－1，－2），求它的第四個頂點d對應的複數.
解：設d（x,y),則
對應的複數為(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i
對應的複數為：
(－1－2i)－(－2+i)=1－3i…………6分
∵∴(x－1)+(y－2)i=1－3i
∴解得∴d點對應的複數為2－i. …………13分
19．（本題滿分14分）已知z= (a>0,a∈r),複數ω=z(z+i)的虛部減去它的實部所得的差是，求複數ω.
解:把z=代入,得ω=(+i)
=()=(1+ai7分
於是·a－，即a2=4
∵a>0,∴a=2,ω=+3i. …………14分
20．（本題滿分14分）在複數範圍內解方程(i為虛數單位).
解: 原方程化簡為,
設z=x+yi(x、y∈r),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, …………4分
x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i. …………14分
21．（本題滿分12分）若虛數z同時滿足下列兩個條件：
①z+是實數；
②z+3的實部與虛部互為相反數.
這樣的虛數是否存在？若存在，求出z;若不存在，請說明理由.
解: 設z=a+bi(a、b∈r且b≠0
則z+=(a+bi)+
=a(1+)+b(1－)i∈r
又z+3=a+3+bi, ……………6分
依題意，有
又由於b≠0,因此……………8分
解之得或11分
∴z=－1－2i或－2－i12分
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