第2講複數的運算
★ 知識梳理 ★
1．複數與的和的定義：
2．複數與的差的定義：
3．乘法運算規則：
設，(、、、)是任意兩個複數，那麼它們的積
4．複數除法定義：滿足的複數(、)叫複數除以複數的商，記為：或者
則 5．複數加、減法的幾何意義
(1)加法的幾何意義
複數是以、為兩鄰邊的平行四邊形對角線所對應的複數.
(2)複數減法的幾何意義
複數是連線向量、的終點，並指向被減數的向量所對應的複數.
6. 重要結論
對複數z 、、和自然數m、n，有
，，(2) ，，，；
(3) ，，.
(4)設，，，，，
★ 重難點突破 ★
1.重點：掌握複數的運算法則，複數加減法的幾何意義及應用
2.難點：複數相關問題的綜合應用
3.重難點：.
(1) 不能把實數的某些法則和性質照搬到複數集中來
問題1: 判斷下面的命題
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)解析：當時，不總是成立的.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)點撥：充分注意實數運算與複數運算的區別。
（2）沒有掌握虛數單位整數冪的運算結果的週期性
問題2：求值：
原式==
=點撥：虛數單位整數冪的值具有以4為週期的特點，根據必須按被4整除餘數為0、1、2、3四種情況進行分類討論.
（3）注意運用共軛複數的性質
問題3: 已知，求的值
點撥：對於，是複數運算與實數運算相互轉化的主要依據，也是把複數看作整體進行運算的主要依據，在解題中加以認識並逐漸體會.
★ 熱點考點題型探析★
考點一：複數的四則運算
題型1. 利用複數四則運算求值
[例1] （廣東北江中學2008屆數學專題）
( )
a． b． c． d．
[解題思路]：運用公式，按步求解
解析：， 故選c
[例2] (江蘇省南通市2008屆高三調研考試)
設ω=－+i,a=,則集合a中的元素有
a.1個b.2個c.3個d.4個
[解題思路]：用ω的性質。
解析：設ω=－+i,則ω3k=1,ω3k+1=ω,ω3k+2=(k∈z),
①當k=3n,n∈z時，x=1+1=2;
②當k=3n+1,n∈z時，x=ω+=ω+ω2=ω+=－1;
③當k=3n+2,n∈z時，x=ω2+=ω2+ω=－1 答案: b
【名師指引】熟記一些常用結論有利於簡化運算，快速解題。
【新題導練】
1．（廣東省佛山市2023年高三教學質量檢測一）（ ）．
a． b． c． d．
答案：c
2．(黃家中學高08級月考)求複數（ ）
（a） （b） （c） （d）
【解】： 故選c；
考點二: 複數加減法幾何意義的應用
題型1: 複數及其運算的幾何意義
[例3] (廣東省汕頭市潮陽一中2023年高三模擬)複數（i是虛數單位）在復平面上對應的點位於
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
[解題思路]：，，
解析：b
[例4] 滿足條件的點的軌跡是（ ）
a.橢圓 b.直線c.線段d.圓
[解題思路]：如果把看作動點z到定點（0，2）的距離，由上式表示到兩個定點（0，2）與（-1，0）的距離之和為常數動點的軌跡符合橢圓的定義，但是，有一定的前提的就是兩點間的距離小於定常數.
解析：點（0，2）與（-1，0）間的距離為，
動點在兩定點（0，-2）與（-1，0）之間，選c
【名師指引】理解複數、複數加減法及複數模的幾何意義，熟記一些常用曲線的複數表示。
【新題導練】
1．(廣東省深圳市2023年高三年級第一次調研考試)複數，，則複數在復平面內對應的點位於
a．第一象限b．第二象限c．第三象限d．第四象限
答案：a
2．(廣東省五校2023年高三上期末聯考)滿足條件|z-i|=|3+4i|複數z在復平面上對應點的軌跡是( )
a ．一條直線 b ．兩條直線 c． 圓d． 橢圓
答案： |3+4i|=5滿足條件|z-i|=|3+4i|複數z在復平面上對應點的軌跡是
圓心為（0，1），半徑為5的圓。故選c
★ 搶分頻道 ★
基礎鞏固訓練
1. (廣東省廣州執信中學、中山紀念中學、深圳外國語學校三校期末聯考)
若複數（，為虛數單位）是純虛數,則實數的值為 （ ）
a、-6 b、13 cd.
答案：a
2. (安徽省皖南八校2008屆高三第一次聯考)
定義運算，則符合條件的複數對應的點在（ ）
a．第一象限b．第二象限； c．第三象限d．第四象限；
答案：a
3．(廣東省揭陽市2023年高中畢業班高考調研測試)
若（i為虛數單位），則使的值可能是（ ）
a．0bcd．
答案：將各選項代入檢驗易得答案選b.
4．(廣東省韶關市2008屆高三第一次調研考試)
已知複數，則（ ）
a． b． c． d．
答案：c
5．(山東省濟南市2023年2月高三統考)
的共軛複數是（ ）
a． b． c． d．
答案：b
6．(湖北省鄂州市2023年高考模擬)虛數（x－2）+ y其中x、y均為實數，當此虛數的模為1時，的取值範圍是（ ）
ab．∪（
cd．[－，0∪（0，
答案：b ∵, 設k =,
則k為過圓（x－2）2 + y2 = 1上點及原點
的直線斜率，作圖如下, k≤,
又∵y≠0 ,∴k≠0.由對稱性選b．
綜合拔高訓練
7．(廣東省四校聯合體第一次聯考)複數的虛部是
答案：8．（安徽省涇縣中學2008高三數學單元檢測）
復平面內，已知複數z=x－i所對應的點都在單位圓內，則實數x的取值範圍是
解:∵z對應的點z(x,－)都在單位圓內， ∴|oz|<1,即<1.
∴x2+<1.∴x2<. ∴－.
9．(江蘇省鹽城市2008屆高三六校聯考)
已知複數z=x+yi (x,y∈r, x≥), 滿足|z-1|= x , 求z在復平面上對應的點(x,y)的軌跡.
解：已知複數z=x+yi (x,y∈r, x≥), 滿足|z-1|= x , 即
那麼z在復平面上對應的點(x,y)的軌跡是拋物線
10．(江蘇省泰興市2008高三調研)已知z= (a>0,a∈r),複數ω=z(z+i)的虛部減去它的實部所得的差是，求複數ω.
解:把z=代入,得ω=(+i)
=()=(1+ai
於是·a－，即a2=4
∵a>0,∴a=2,ω=+3i.
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