第3講演算法案例
★知識梳理★
1.輾轉相除法是用於求最大公約數的一種方法，這種演算法由歐幾里得在西元前年左右首先提出，因而又叫歐幾里得演算法.
2.所謂輾轉相法，就是對於給定的兩個數，用較大的數除以較小的數.若餘數不為零，則將較小的數和餘數構成新的一對數，繼續上面的除法，直到大數被小數除盡，則這時的除數就是原來兩個數的最大公約數.
3.更相減損術是一種求兩數最大公約數的方法.其基本過程是：
對於給定的兩數， 用較大的數減去較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數，繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數就是所求的最大公約數.
4.秦九韶演算法是一種用於計算一元二次多項式的值的方法.
5.常用的排序方法是直接插入排序和氣泡排序.
6.進製是人們為了計數和運算方便而約定的記數系統.「滿進一」，就是k進製，進製的基數是k.
7.將進製的數化為十進位制數的方法是：先將進製數寫成用各位上的數字與k的冪的乘積之和的形式，再按照十進位制數的運算規則計算出結果.
8.將十進位制數化為進製數的方法是：除k取餘法.即用k連續去除該十進位制數或所得的商， 直到商為零為止，然後把每次所得的餘數倒著排成乙個數就是相應的進製數.
★重難點突破★
1.重點：理解輾轉相除法與更相減損術的原理,會求兩個數的最大公約數；理解秦九韶演算法原理，會求一元多項式的值；會對一組資料按照一定的規則進行排序；理解進製，能進行各種進製之間的轉化．
2.難點：秦九韶演算法求一元多項式的值及各種進製之間的轉化．
3.重難點：理解輾轉相除法與更相減損術、秦九韶演算法原理、排序方法、進製之間的轉化方法．
★熱點考點題型探析★
考點1 求最大公約數
【例1】用輾轉相除法求和的最大公約數，並用更相減損術檢驗所得結果.
【解題思路】將80作為大數，36作為小數，執行輾轉相除法和更相減損術的步驟均可.
【解析】用輾轉相除法
故和的最大公約數是
用更相減損術檢驗和的最大公約數是
，【名師指引】輾轉相除法是當大數被小數除盡時，結束除法運算，較小的數就是最大公約數；更相減損術是當大數減去小數的差時等於小數時停止減法，較小的數就是最大公約數.
【新題導練】
1. 試求288和123的最大公約數.
【解析】，
， ，
.∴和的最大公約數
考點2 進製間的轉化
【例2】(1)把二進位制數化為十進位制數；(2)把化為二進位制數.
【解題思路】(1)先把二進位制數寫成不同位上數字與2的冪的乘積之和的形式，再按照十進位制的運算規則計算出結果；(2)根據二進位制數「滿二進一」的原則，可以用連續去除或所得商，然後取餘數.
【解析】
(1)(2)，，，，.
所以..這種演算法叫做除2餘法，還可以用下面的除法算式表示；把上式中各步所得的餘數從下到上排列，
得到【名師指引】直接插入排序和氣泡排序是兩種常用的排序方法，通過該例，我們對比可以發現， 直接插入排序比氣泡排序更有效一些，執行的操作步驟更少一些.．
【新題導練】
2. 把化為進製的數.
【解析】
，， ∴
.所以， .
考點3 用秦九韶演算法求多項式的值
【例3】用秦九韶演算法求多項式
在的值.
【解題思路】可根據秦九韶演算法原理，將所給多項式改寫，然後由內到外逐次計算即可.
【解析】
而，所以有，，
，，，.即.
【名師指引】利用秦九韶演算法計算多項式值關鍵是能正確地將所給多項式改寫，然後由內到外逐次計算，由於後項計算需用到前項的結果，故應認真、細心，確保中間結果的準確性.
【新題導練】
3.求多項式當時的值.
【解析】
而，所以有. ，
，，，∴.
★ 搶分頻道 ★
基礎鞏固訓練
1.下面關於演算法的說法正確的是 ( )
a. 秦九韶演算法是求兩個數的最大公約數 b. 更相減損術是求多項式的值的方法
c. 輾轉相除法是求多項式的值的方法 d. 以上結論皆錯
【解析】d.
2.下列關於利用更相減損術求156和72的最大公約數的說法，正確的是( )
a. 都是偶數必須約簡
b. 可以約簡，也可以不約簡
c. 第一步作差為，第二步作差為
d. 以上皆錯
【解析】b.
3.168和486的最大公約數是( )
a. 3b. 4c. 6d. 16
【解析】c.
4.利用秦九韶演算法求當時，的值時， 下列說法正確的是( )
a.先求
b.先求， 第二步求
c.直接運算求解
d. 以上皆錯
【解析】b.
5.用秦九韶演算法求多項式時，求需要算乘方、乘法、加法的次數分別為( )
abcd.
【解析】d.
6.用冒泡法對資料從小到大排序，第二趟得到的數列為
【解析】 第一趟：；第二趟：.
7.二進位制數的十進位制數
十進位制數的二進位制數為
【解析】.
綜合拔高訓練
8.用秦九韶演算法求多項式當時的值.
【解析】
而，所以有
；；；；
；；； ∴.
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