2023年全國中考數學壓軸題精選(六)
51.（08湖南郴州27題）（本題滿分10分）如圖10，平行四邊形abcd中，ab＝5，bc＝10，bc邊上的高am=4，e為 bc邊上的乙個動點（不與b、c重合）．過e作直線ab的垂線，垂足為f． fe與dc的延長線相交於點g，鏈結de，df．．
（1） 求證：δbef ∽δceg．
（2） 當點e**段bc上運動時，△bef和△ceg的周長之間有什麼關係？並說明你的理由．
（3）設be＝x，△def的面積為 y，請你求出y和x之間的函式關係式，並求出當x為何值時,y有最大值，最大值是多少？
（08湖南郴州27題解析）（1） 因為四邊形abcd是平行四邊形， 所以 1分
所以所以 3分
（2）的周長之和為定值． 4分
理由一：
過點c作fg的平行線交直線ab於h ，
因為gf⊥ab，所以四邊形fhcg為矩形．所以 fh＝cg，fg＝ch
因此，的周長之和等於bc＋ch＋bh
由 bc＝10，ab＝5，am＝4，可得ch＝8，bh＝6，
所以bc＋ch＋bh＝24 6分
理由二：
由ab＝5，am＝4，可知
在rt△bef與rt△gce中，有：
，所以，△bef的周長是， △ecg的周長是
又be＋ce＝10，因此的周長之和是24． 6分
（3）設be＝x，則
所以 8分
配方得：．
所以，當時，y有最大值． 9分
最大值為． 10分
52（08湖南郴州28題）（本題滿分10分）
如圖13，在平面直角座標系中，圓m經過原點o，且與軸、軸分別相交於兩點．
（1）求出直線ab的函式解析式；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行於軸且經過點m，頂點c在⊙m上，開口向下，且經過點b，求此拋物線的函式解析式；
（3）設（2）中的拋物線交軸於d、e兩點，在拋物線上是否存在點p，使得？若存在，請求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
（08湖南郴州28題解析）解：（1）設ab的函式表示式為
∵∴∴∴直線ab的函式表示式為． 3分
（2）設拋物線的對稱軸與⊙m相交於一點，依題意知這一點就是拋物線的頂點c。又設對稱軸與軸相交於點n，在直角三角形aob中，
因為⊙m經過o、a、b三點，且⊙m的直徑，∴半徑ma=5，∴n為ao的中點an=no=4，∴mn=3∴cn=mc-mn=5-3=2，∴c點的座標為（-4，2）．
設所求的拋物線為
則∴所求拋物線為 7分
（3）令得d、e兩點的座標為d（-6，0）、e（-2，0），所以de=4．
又ac=直角三角形的面積
假設拋物線上存在點．
當故滿足條件的存在．它們是． 10分
53（08湖南湘潭26題）（本題滿分10分）
已知拋物線經過點a（5，0）、b（6，-6）和原點.
（1）求拋物線的函式關係式；
（2）若過點b的直線與拋物線相交於點c（2，m），請求出obc的面積s的值.
（3）過點c作平行於x軸的直線交y軸於點d，在拋物線對稱軸右側位於直線dc下方的拋物線上，任取一點p，過點p作直線pf平行於y軸交x軸於點f，交直線dc於點e. 直線pf與直線dc及兩座標軸圍成矩形ofed（如圖），是否存在點p，使得ocd與cpe相似？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由.
（08湖南湘潭26題解析）解：（1）由題意得： 2分
解得 3分
故拋物線的函式關係式為 4分
（2）在拋物線上， 5分
點座標為（2，6），、c在直線上
解得直線bc的解析式為 6分
設bc與x軸交於點g，則g的座標為（4，0）
7分（3）存在p，使得∽ 8分
設p，故若要∽，則要或
即或解得或
又在拋物線上，或
解得或故p點座標為和 10分
（只寫出乙個點的座標記9分）
54.（08湖南永州25題）（10分）如圖，二次函式y＝ax2＋bx＋c(a＞0)與座標軸交於點a、b、c且oa＝1，ob＝oc＝3 ．
（1）求此二次函式的解析式．
（2）寫出頂點座標和對稱軸方程．
（3）點m、n在y＝ax2＋bx＋c的影象上(點n在點m的右邊)，且mn∥x軸，求以mn為直徑且與x軸相切的圓的半徑．
（08湖南永州25題解析）（1）依題意分別代入 1分
解方程組得所求解析式為 4分
（2） 5分
頂點座標，對稱軸 7分
（3）設圓半徑為，當在軸下方時，點座標為 8分
把點代入得 9分
同理可得另一種情形
圓的半徑為或 10分
55.（08吉林長春27題）（１２分）已知兩個關於的二次函式與當時，；且二次函式的圖象的對稱軸是直線．
（1）求的值；（2）求函式的表示式；
（3）在同一直角座標系內，問函式的圖象與的圖象是否有交點？請說明理由．
（08吉林長春27題解析）[解] （1）由
得． 又因為當時，，即，
解得，或（捨去），故的值為．
（2）由，得，
所以函式的圖象的對稱軸為，
於是，有，解得，
所以．（3）由，得函式的圖象為拋物線，其開口向下，頂點座標為；
由，得函式的圖象為拋物線，其開口向上，頂點座標為；
故在同一直角座標系內，函式的圖象與的圖象沒有交點．
56（08江蘇鹽城28題）（本題滿分12分）
如圖甲，在△abc中，∠acb為銳角．點d為射線bc上一動點，連線ad，以ad為一邊且在ad的右側作正方形adef．
解答下列問題：
（1）如果ab=ac，∠bac=90．
當點d**段bc上時（與點b不重合），如圖乙，線段cf、bd之間的位置關係為 ▲ ，數量關係為 ▲ ．
當點d**段bc的延長線上時，如圖丙，中的結論是否仍然成立，為什麼？
（2）如果ab≠ac，∠bac≠90，點d**段bc上運動．
試**：當△abc滿足乙個什麼條件時，cf⊥bc（點c、f重合除外）？畫出相應圖形，並說明理由．（畫圖不寫作法）
（3）若ac＝，bc=3，在（2）的條件下，設正方形adef的邊de與線段cf相交於點p，求線段cp長的最大值．
（08江蘇鹽城28題解析）（1）①cf與bd位置關係是垂直、數量關係是相等；
②當點d在bc的延長線上時的結論仍成立．
由正方形adef得 ad=af ，∠daf=90．
∵∠bac=90，∴∠daf=∠bac ， ∴∠dab=∠fac，
又ab=ac ，∴△dab≌△fac ， ∴cf=bd
∠acf=∠abd．
∵∠bac=90， ab=ac ，∴∠abc=45，∴∠acf=45，∴∠bcf=∠acb+∠acf= 90．即 cf⊥bd
（2）畫圖正確
當∠bca=45時，cf⊥bd（如圖丁）．
理由是：過點a作ag⊥ac交bc於點g，∴ac=ag
可證：△gad≌△caf ∴∠acf=∠agd=45
∠bcf=∠acb+∠acf= 90． 即cf⊥bd
（3）當具備∠bca=45時，
過點a作aq⊥bc交bc的延長線於點q，（如圖戊）
∵de與cf交於點p時， ∴此時點d位於線段cq上，
∵∠bca=45，可求出aq= cq=4．設cd=x ，∴ dq=4—x，
容易說明△aqd∽△dcp，∴ ， ∴，
． ∵0＜x≤3 ∴當x=2時，cp有最大值1．
57.（08江西省卷24題）（本大題9分）已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是
，（其中為常數，且）．
（1）請寫出三條與上述拋物線有關的不同型別的結論；
（2）當時，設與軸分別交於兩點（在的左邊），與軸分別交於兩點（在的左邊），觀察四點座標，請寫出乙個你所得到的正確結論，並說明理由；
（3）設上述兩條拋物線相交於兩點，直線都垂直於軸，分別經過兩點，在直線之間，且與兩條拋物線分別交於兩點，求線段的最大值．
（08江西省卷24題解析）（1）解：答案不唯一，只要合理均可．例如：
①拋物線開口向下，或拋物線開口向上；
②拋物線的對稱軸是，或拋物線的對稱軸是；
③拋物線經過點，或拋物線經過點；
④拋物線與的形狀相同，但開口方向相反；
⑤拋物線與都與軸有兩個交點；
⑥拋物線經過點或拋物線經過點；
等等． 3分
（2）當時，，令，
解得． 4分
，令，解得． 5分
①點與點對稱，點與點對稱；
②四點橫座標的代數和為0；
③（或）． 6分
（3），
拋物線開口向下，拋物線開口向上． 7分
根據題意，得． 8分
當時，的最大值是2． 9分
說明：1．第（1）問每寫對一條得1分；
2．第（2）問中，①②③任意寫對一條得1分；其它結論參照給分．
58（08江西省卷25題）（本大題10分）如圖1，正方形和正三角形的邊長都為1，點分別**段上滑動，設點到的距離為，到的距離為，記為（當點分別與重合時，記）．
（1）當時（如圖2所示），求的值（結果保留根號）；
（2）當為何值時，點落在對角線上？請說出你的理由，並求出此時的值（結果保留根號）；
（3）請你補充完成下表（精確到0.01）：
（4）若將「點分別**段上滑動」改為「點分別在正方形邊上滑動」．當滑動一周時，請使用（3）的結果，在圖4中描出部分點後，勾畫出點運動所形成的大致圖形．
（參考資料：．）
（08江西省卷25題解析）解：（1）過作於交於，於．
，，，．
，． 2分
（2）當時，點在對角線上，其理由是： 3分
過作交於，
過作交於．
平分，，．
，，．，．
，．即時，點落在對角線上． 4分
（以下給出兩種求的解法）
方法一：，．
在中，，
． 5分
． 6分
方法二：當點在對角線上時，有
， 5分
解得． 6分
（3）8分
（4）由點所得到的大致圖形如圖所示：
10分說明：1．第（1）問中，寫對的值各得1分；
2．第（2）問回答正確的得1分，證明正確的得1分，求出的值各得1分；
3．第填對其中4空得1分；
3．圖形大致畫得正確的得2分．
59（08山東濟南24題）（本小題滿分9分）
已知：拋物線(a≠0)，頂點c (1，)，與x軸交於a、b兩點，．
（1）求這條拋物線的解析式．
（2）如圖，以ab為直徑作圓，與拋物線交於點d，與拋物線對稱軸交於點e，依次連線a、d、b、e，點p為線段ab上乙個動點(p與a、b兩點不重合)，過點p作pm⊥ae於m，pn⊥db於n，請判斷是否為定值? 若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．
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十年全國中考壓軸題之四
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