1、（2006浙江金華）如圖,平面直角座標系中,直線ab與軸,軸分別交於a(3,0),b(0,)兩點, ,點c為線段ab上的一動點,過點c作cd⊥軸於點d.
(1)求直線ab的解析式;
(2)若s梯形obcd＝,求點c的座標;
(3)在第一象限內是否存在點p,使得以p,o,b為頂點的
三角形與△oba相似.若存在,請求出所有符合條件
的點p的座標;若不存在,請說明理由.
[解] （1）直線ab解析式為：y=x+．
（2）方法一：設點ｃ座標為（x， x+），那麼od＝x，cd＝x+．
∴＝＝．
由題意： ＝，解得（捨去）
∴ ｃ（２，）
方法二：∵ ,＝，∴．
由oa=ob，得∠bao＝30°，ad=cd．
∴ ＝cd×ad＝＝．可得cd＝．
∴ ad=１，od＝２．∴c（２，）．
（３）當∠obp＝rt∠時，如圖
①若△bop∽△oba，則∠bop＝∠bao=30°，bp=ob=3，
∴（3，）．
②若△bpo∽△oba，則∠bpo＝∠bao=30°,op=ob=1．
∴（1，）．
當∠opb＝rt∠時
③ 過點p作op⊥bc於點p(如圖)，此時△pbo∽△oba，∠bop＝∠bao＝30°
過點p作pm⊥oa於點m．
方法一： 在rt△pbo中，bp＝ob＝，op＝bp＝．
∵ 在rt△pｍo中，∠opm＝30°，
∴ om＝op＝；pm＝om＝．∴（，）．
方法二：設ｐ（x ， x+），得om＝x ，pm＝x+
由∠bop＝∠bao,得∠pom＝∠abo．
∵tan∠pom=== ，tan∠aboc==．
∴x+＝x，解得x＝．此時，（，）．
④若△pob∽△oba(如圖)，則∠obp=∠bao＝30°，∠pom＝30°．
∴ pm＝om＝．
∴ （，）（由對稱性也可得到點的座標）．
當∠opb＝rt∠時，點p在ｘ軸上,不符合要求.
綜合得，符合條件的點有四個，分別是：
（3，），（1
2、（2006重慶）如圖1所示，一張三角形紙片abc，∠acb=90°,ac=8,bc=6.沿斜邊ab的中線cd把這張紙片剪成和兩個三角形（如圖2所示）.將紙片沿直線（ab）方向平移（點始終在同一直線上），當點於點b重合時，停止平移.
在平移過程中，與交於點e,與分別交於點f、p.
(1) 當平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的與的數量關係，並證明你的猜想；
(2) 設平移距離為，與重疊部分面積為，請寫出與的函式關係式，以及自變數的取值範圍；
（3）對於（2）中的結論是否存在這樣的的值，使重疊部分的面積等於原面積的.
若存在，求x的值；若不存在，請說明理由.
[解] （1）.因為，所以.
又因為，cd是斜邊上的中線，
所以，，即
所以，，所以
所以，.同理：.
又因為，所以.所以
（2）因為在中，，所以由勾股定理，得
即又因為，所以.所以
在中，到的距離就是的邊上的高，為.
設的邊上的高為，由**，得，所以.
所以.又因為，所以.
又因為，.
所以， 而所以
(3) 存在. 當時，即
整理，得解得，.
即當或時，重疊部分的面積等於原面積的.
3、（2006山東濟南）如圖1，已知中，，．過點作，且，連線交於點．
（1）求的長；
（2）以點為圓心，為半徑作⊙a，試判斷與⊙a是否相切，並說明理由；
（3）如圖2，過點作，垂足為．以點為圓心，為半徑作⊙a；以點為圓心，為半徑作⊙c．若和的大小是可變化的，並且在變化過程中保持⊙a和⊙c相切，且使點在⊙a的內部，點在⊙a的外部，求和的變化範圍．
[解]（1）在中，，
．，．．，．（2）與⊙a相切．
在中，，，
，．又，，與⊙a相切．
（3）因為，所以的變化範圍為．
當⊙a與⊙c外切時，，所以的變化範圍為；
當⊙a與⊙c內切時，，所以的變化範圍為．
4、（2006浙江嘉興）某旅遊勝地欲開發一座景觀山．從山的側面進行堪測，迎面山坡線abc由同一平面內的兩段拋物線組成，其中ab所在的拋物線以a為頂點、開口向下，bc所在的拋物線以c為頂點、開口向上．以過山腳（點c）的水平線為x軸、過山頂（點a）的鉛垂線為y軸建立平面直角座標系如圖（單位：百公尺）．已知ab所在拋物線的解析式為，bc所在拋物線的解析式為，且已知．
（1）設是山坡線ab上任意一點，用y表示x，並求點b的座標；
（2）從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設觀景台階．這種台階每級的高度為20厘公尺，長度因坡度的大小而定，但不得小於20厘公尺，每級台階的兩端點在坡面上（見圖）．
①分別求出前**台階的長度（精確到厘公尺）；
②這種台階不能一直鋪到山腳，為什麼？
（3）在山坡上的700公尺高度（點d）處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站．索道的起點選擇在山腳水平線上的點e處，（公尺）．假設索道de可近似地看成一
段以e為頂點、開口向上的拋物線，解析式為．試求索道的最大懸空高度．
[解] （1）∵是山坡線ab上任意一點，
∴，，∴，
∵，∴＝4，∴
（2）在山坡線ab上，，
①令，得；令，得
∴第一級台階的長度為（百公尺）（厘公尺）
同理，令、，可得、
∴第二級台階的長度為（百公尺）（厘公尺）
第**台階的長度為（百公尺）（厘公尺）
②取點，又取，則
∵∴這種台階不能從山頂一直鋪到點b，從而就不能一直鋪到山腳
（注：事實上這種台階從山頂開始最多只能鋪到700公尺高度，共500級．從100公尺高度到700公尺高度都不能鋪設這種台階．解題時取點具有開放性）
②另解：連線任意一段台階的兩端點p、q，如圖
∵這種台階的長度不小於它的高度
∴當其中有一級台階的長大於它的高時，
在題設圖中，作於h
則，又第一級台階的長大於它的高
∴這種台階不能從山頂一直鋪到點b，從而就不能一直鋪到山腳
（3）、、、
由圖可知，只有當索道在bc上方時，索道的懸空高度才有可能取最大值
索道在bc上方時，懸空高度
當時，∴索道的最大懸空高度為公尺．
5、（2006山東煙台）如圖，已知拋物線l1: y=x2-4的影象與x有交於a、c兩點，
（1）若拋物線l2與l1關於x軸對稱，求l2的解析式；
（2）若點b是拋物線l1上的一動點（b不與a、c重合），以ac為對角線，a、b、c三點為頂點的平行四邊形的第四個頂點定為d，求證：點d在l2上；
（3）探索：當點b分別位於l1在x軸上、下兩部分的影象上時，平行四邊形abcd的面積是否存在最大值和最小值？若存在，判斷它是何種特殊平行四邊形，並求出它的面積；若不存在，請說明理由。
[解]（1）設l2的解析式為y=a(x-h)2+k
∵l2與x軸的交點a(-2,0),c(2,0),頂點座標是(0，-4),l1與l2關於x軸對稱，
∴l2過a(-2,0),c(2,0),頂點座標是（0，4）
∴y=ax2+4
∴0=4a+4 得 a=-1
∴l2的解析式為y=-x2+4
(2)設b(x1 ,y1)
∵點b在l1上
∴b(x1 ,x12-4)
∵四邊形abcd是平行四邊形，a、c關於o對稱
∴b、d關於o對稱
∴d(-x1 ,-x12+4).
將d(-x1 ,-x12+4)的座標代入l2：y=-x2+4
左邊=右邊
點d在l2上.
(3)設平行四邊形abcd的面積為s,則
s=2*s△abc =ac*|y1|=4|y1|
a.當點b在x軸上方時，y1＞0
∴s=4y1 ,它是關於y1的正比例函式且s隨y1的增大而增大，
∴s既無最大值也無最小值
b.當點b在x軸下方時，-4≤y1＜0
∴s=-4y1 ,它是關於y1的正比例函式且s隨y1的增大而減小，
∴當y1 =-4時，s由最大值16，但他沒有最小值
此時b(0,-4)在y軸上，它的對稱點d也在y軸上.
∴ac⊥bd
∴平行四邊形abcd是菱形
此時s最大=16.
6、（2006山東濰坊）已知二次函式圖象的頂點在原點，對稱軸為軸．一次函式的圖象與二次函式的圖象交於兩點（在的左側），且點座標為．平行於軸的直線過點．
（1）求一次函式與二次函式的解析式；
（2）判斷以線段為直徑的圓與直線的位置關係，並給出證明；
（3）把二次函式的圖象向右平移個單位，再向下平移個單位，二次函式的圖象與軸交於兩點，一次函式圖象交軸於點．當為何值時，過三點的圓的面積最小？最小面積是多少？
[解]（1）把代入得，
一次函式的解析式為；
二次函式圖象的頂點在原點，對稱軸為軸，
設二次函式解析式為，
把代入得，
二次函式解析式為．
（2）由
解得或，
，過點分別作直線的垂線，垂足為，
則，直角梯形的中位線長為，
過作垂直於直線於點，則，，
， 的長等於中點到直線的距離的2倍，
以為直徑的圓與直線相切．
（3）平移後二次函式解析式為，
令，得，，，
過三點的圓的圓心一定在直線上，點為定點，
要使圓面積最小，圓半徑應等於點到直線的距離，
此時，半徑為2，面積為，
設圓心為中點為，連，則，
在三角形中，，
，而，，
當時，過三點的圓面積最小，最小面積為．
7、（2006江西）問題背景某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：
①如圖1，在正三角形△abc中，m、n分別是ac、ab上的點，bm與cn相交於點o，若∠bon＝60，則bm＝cn；
②如圖2，在正方形abcd中，m、n分別是cd、ad上的點，bm與cn相交於點o，若∠bon＝90，則bm＝cn；
然後運用模擬的思想提出了如下命題：
③如圖3，在正五邊形abcde中，m、n分別是cd、de上的點，bm與cn相交於點o，若∠bon＝108，則bm＝cn。
任務要求：
（1）請你從①、②、③三個命題中選擇乙個進行證明；（說明：選①做對得4分，選②做對得3分，選③做對得5分）
(2)請你繼續完成下列探索：
①請在圖3中畫出一條與cn相等的線段dh，使點h在正五邊形的邊上，且與cn相交所成的乙個角是108，這樣的線段有幾條？（不必寫出畫法，不要求證明）
②如圖4，在正五邊形abcde中，m、n分別是de、ea上的點，bm與cn相交於點o，若∠bon＝108，請問結論bm＝cn是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由。
[解] （1）以下答案供參考：
（1） 如選命題①
證明：在圖1中，∵∠bon=60°∴∠1+∠2=60°
∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3
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