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1．（12分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經過點，它們在軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是座標軸，拋物線的頂點為座標原點.
（ⅰ）求這三條曲線的方程；
（ⅱ）已知動直線過點，交拋物線於兩點，是否存在垂直於軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.
解：（ⅰ）設拋物線方程為，將代入方程得
1分）由題意知橢圓、雙曲線的焦點為…………………（2分）
對於橢圓，
4分）對於雙曲線，
6分）（ⅱ）設的中點為，的方程為：，以為直徑的圓交於兩點，中點為
令7分）
…………（12分）
2．（14分）已知正項數列中，，點在拋物線上；數列中，點在過點，以方向向量為的直線上.
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）若，問是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，說明理由；
（ⅲ）對任意正整數，不等式成立，求正數的取值範圍.
解：（ⅰ）將點代入中得
4分）5分）
……………………（8分）
（ⅲ）由
14分）
3.（本小題滿分12分）將圓o:上各點的縱座標變為原來的一半 (橫座標不變),
得到曲線c.
(1) 求c的方程;
(2) 設o為座標原點, 過點的直線l與c交於a、b兩點, n為線段ab的中點,
延長線段on交c於點e.
求證:的充要條件是.
解: (1)設點, 點m的座標為,由題意可知………………(2分)
又∴.所以, 點m的軌跡c的方程為.………………(4分)
(2)設點, , 點n的座標為,
㈠當直線l與x軸重合時, 線段ab的中點n就是原點o,
不合題意,捨去; ………………(5分)
㈡設直線l:
由消去x,
得………………①
∴………………(6分)
∴,∴點n的座標為.………………(8分)
①若, 座標為, 則點e的為, 由點e在曲線c上,
得, 即∴捨去).
由方程①得
又∴.………………(10分)
②若, 由①得∴
∴點n的座標為, 射線on方程為:,
由解得∴點e的座標為
∴.綜上, 的充要條件是.………………(12分)
4.（本小題滿分14分）已知函式.
(1) 試證函式的圖象關於點對稱;
(2) 若數列的通項公式為, 求數列的前m項和
(3) 設數列滿足:,. 設.
若(2)中的滿足對任意不小於2的正整數n,恆成立, 試求m的最大值.
解: (1)設點是函式的圖象上任意一點, 其關於點的對稱點為.
由得所以, 點p的座標為p.………………(2分)
由點在函式的圖象上, 得.
∵ ∴點p在函式的圖象上.
∴函式的圖象關於點對稱. ………………(4分)
(2)由(1)可知, , 所以,
即………………(6分)
由得………………②
由①＋②, 得
∴………………(8分)
(3∴對任意的. ………………④
由③、④, 得即.
∴.……………(10分)
∵∴數列是單調遞增數列.
∴關於n遞增. 當, 且時,.
∵∴………………(12分)
∴即∴∴m的最大值為6. ……………(14分)
5．（12分）、是橢圓的左、右焦點，是橢圓的右準線，點，過點的直線交橢圓於、兩點.
（1） 當時，求的面積；
（2） 當時，求的大小；
（3） 求的最大值.
解：（1）
（2）因，
則（1） 設
，當時，
6．（14分）已知數列中，，當時，其前項和滿足，
（2） 求的表示式及的值；
（3） 求數列的通項公式；
（4） 設，求證：當且時，.
解：（1）
所以是等差數列.則.
.（2）當時，，
綜上，.
（3）令，當時，有1）
法1：等價於求證.
當時，令
，則在遞增.
又，所以即.
法（2）
2） （3）
因，所以
由（1）（3）（4）知.
法3：令，則
所以因則，
所以5）
由（1）（2）（5）知
7． (本小題滿分14分)
第21題
設雙曲線=1( a > 0, b > 0 )的右頂點為a，p是雙曲線上異於頂點的乙個動點，從a引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線op分別交於q和r兩點.
(1) 證明：無論p點在什麼位置，總有||2 = |·| ( o為座標原點)；
(2) 若以op為邊長的正方形面積等於雙曲線實、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值範圍；
解：(1) 設op：y = k x, 又條件可設ar: y = (x – a ),
解得同理可得
4分 設= ( m, n ) , 則由雙曲線方程與op方程聯立解得:
m2 =, n2 =,
∴ ||2 = :m2 + n2 = + = ,
∵點p在雙曲線上，∴b2 – a2k2 > 0 .
∴無論p點在什麼位置，總有||24分
（2）由條件得： = 4ab2分
即k2 = > 0 , ∴ 4b > a, 得e >2分
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