1．已知拋物線、橢圓和雙曲線都經過點，它們在軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是座標軸，拋物線的頂點為座標原點.
（ⅰ）求這三條曲線的方程；
（ⅱ）已知動直線過點，交拋物線於兩點，是否存在垂直於軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.
解：（ⅰ）設拋物線方程為，將代入方程得
1分）由題意知橢圓、雙曲線的焦點為…………………（2分）
對於橢圓，
4分）對於雙曲線，
6分）（ⅱ）設的中點為，的方程為：，以為直徑的圓交於兩點，中點為
令7分）
…………（12分）
2．已知正項數列中，，點在拋物線上；數列中，點在過點，以方向向量為的直線上.
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）若，問是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，說明理由；
解：（ⅰ）將點代入中得
4分）5分）
……………………（8分）
3.將圓o:上各點的縱座標變為原來的一半 (橫座標不變),
得到曲線c.
(1) 求c的方程;
(2) 設o為座標原點, 過點的直線l與c交於a、b兩點, n為線段ab的中點,
延長線段on交c於點e.
求證:的充要條件是.
解: (1)設點, 點m的座標為,由題意可知………………(2分)
又∴.所以, 點m的軌跡c的方程為.………………(4分)
(2)設點, , 點n的座標為,
㈠當直線l與x軸重合時, 線段ab的中點n就是原點o,
不合題意,捨去; ………………(5分)
㈡設直線l:
由消去x,
得………………①
∴………………(6分)
∴,∴點n的座標為.………………(8分)
①若, 座標為, 則點e的為, 由點e在曲線c上,
得, 即∴捨去).
由方程①得
又∴.………………(10分)
②若, 由①得∴
∴點n的座標為, 射線on方程為:,
由解得∴點e的座標為
∴.綜上, 的充要條件是.………………(12分)
4.已知函式.
(1) 試證函式的圖象關於點對稱;
(2) 若數列的通項公式為, 求數列的前m項和
(3) 設數列滿足:,. 設.
若(2)中的滿足對任意不小於2的正整數n,恆成立, 試求m的最大值.
解: (1)設點是函式的圖象上任意一點, 其關於點的對稱點為.
由得所以, 點p的座標為p.………………(2分)
由點在函式的圖象上, 得.
∵ ∴點p在函式的圖象上.
∴函式的圖象關於點對稱. ………………(4分)
(2)由(1)可知, , 所以,
即………………(6分)
由得………………②
由①＋②, 得
∴………………(8分)
(3∴對任意的. ………………④
由③、④, 得即.
∴.……………(10分)
∵∴數列是單調遞增數列.
∴關於n遞增. 當, 且時,.
∵∴………………(12分)
∴即∴∴m的最大值為6. ……………(14分)
5．、是橢圓的左、右焦點，是橢圓的右準線，點，過點的直線交橢圓於、兩點.
（1） 當時，求的面積；
（2） 當時，求的大小；
（3） 求的最大值.
解：（1）
（2）因，
則（3）設
，當時，
6．已知數列中，，當時，其前項和滿足，
（1） 求的表示式的值；
（2） 求數列的通項公式；
解：（1）
所以是等差數列.則.
（2）當時，，
綜上，.
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