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高考壓軸大題突破練
(一)直線與圓錐曲線(1)
1．(2015·陝西)已知橢圓e：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距為c，原點o到經過兩點(c,0)，(0，b)的直線的距離為c.
(1)求橢圓e的離心率；
(2)如圖，ab是圓m：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一條直徑，若橢圓e經過a，b兩點，求橢圓e的方程．
2．已知橢圓c的中心為座標原點o，乙個長軸端點為(0,2)，短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交於點p(0，m)，與橢圓c交於相異兩點a，b，且＝2.
(1)求橢圓方程；
(2)求m的取值範圍．
3．已知拋物線c：y2＝4x，點m(m,0)在x軸的正半軸上，過點m的直線l與拋物線c相交於a，b兩點，o為座標原點．
(1)若m＝1，且直線l的斜率為1，求以ab為直徑的圓的方程；
(2)是否存在定點m，使得不論直線l繞點m如何轉動，＋恒為定值？
4．(2015·課標全國ⅰ)在直角座標系xoy中，曲線c：y＝與直線l：y＝kx＋a(a>0)交於m，n兩點，
(1)當k＝0時，分別求c在點m和n處的切線方程；
(2)y軸上是否存在點p，使得當k變動時，總有∠opm＝∠opn？說明理由．
高考壓軸大題突破練
(一)直線與圓錐曲線(1)
1．解 (1)過點(c,0)，(0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0，
則原點o到該直線的距離d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，解得離心率＝.
(2)方法一由(1)知，橢圓e的方程為x2＋4y2＝4b2.①
依題意，圓心m(－2,1)是線段ab的中點，且|ab|＝.
易知，ab與x軸不垂直，設其方程為y＝k(x＋2)＋1，
代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝，
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，
解得k＝，從而x1x2＝8－2b2.
於是|ab|＝ |x1－x2|＝＝，
由|ab|＝，得＝，
解得b2＝3，
故橢圓e的方程為＋＝1.
方法二由(1)知，橢圓e的方程為x2＋4y2＝4b2，②
依題意，點a，b關於圓心m(－2,1)對稱，且|ab|＝，設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，
兩式相減並結合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，
易知ab與x軸不垂直，則x1≠x2，
所以ab的斜率kab＝＝，
因此直線ab的方程為y＝ (x＋2)＋1，
代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，
於是|ab|＝ |x1－x2|＝＝.
由|ab|＝，得＝，
解得b2＝3，
故橢圓e的方程為＋＝1.
2．解 (1)由題意知橢圓的焦點在y軸上，
設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，
由題意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，則b＝，
所以橢圓方程為＋＝1.
(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，
由題意知，直線l的斜率存在，
設其方程為y＝kx＋m，與橢圓方程聯立即
則(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，
由根與係數的關係知
又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)．
∴－x1＝2x2，∴
∴＝－22，
整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0時不成立，
∴k2＝>0，
得0.∴m的取值範圍為∪.
3．解 (1)當m＝1時，m(1,0)，此時點m為拋物線c的焦點．直線l的方程為y＝x－1，設a(x1，y1)，b(x2，y2)，聯立消去y，得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝x1＋x2－2＝4，所以圓心座標為(3,2)．
又|ab|＝x1＋x2＋2＝8，所以圓的半徑為4，
所以圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16.
(2)由題意可設直線l的方程為x＝ky＋m，則直線l的方程與拋物線c：y2＝4x聯立，消去x得，y2－4ky－4m＝0，
則y1y2＝－4m，y1＋y2＝4k，
＋＝＋＝＋＝
＝＝＝，
若＋對任意k∈r恒為定值，則m＝2，此時＋＝.
所以存在定點m(2,0)，滿足題意．
4．解 (1)由題設可得m(2，a)，
n(－2，a)，
或m(－2，a)，n(2，a)．
又y′＝，故y＝在x＝2處的導數值為，c在點(2，a)處的切線方程為y－a＝ (x－2)，即x－y－a＝0.
y＝在x＝－2處的導數值為－，c在點(－2，a)處的切線方程為
y－a＝－ (x＋2)，
即x＋y＋a＝0.
故所求切線方程為x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)存在符合題意的點，證明如下：
設p(0，b)為符合題意的點，m(x1，y1)，n(x2，y2)，直線pm，pn的斜率分別為k1，k2.
將y＝kx＋a代入c的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
從而k1＋k2＝＋＝＝.
當b＝－a時，有k1＋k2＝0，
則直線pm的傾斜角與直線pn的傾斜角互補，
故∠opm＝∠opn，所以點p(0，－a)符合題意．
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