2023年全國高考點
數學基礎知識
詳編（第一輯）
目錄：第一部分基本知識框架
第二部分知識與方法歸納 （鞏固基礎版）
1，函式
2，數列
3，不等式
4，直線與曲線方程
5，綜合
第三部分思維方法與解題技巧（能力提公升版）
第四部分學習方法推薦 （綜合發展版）
第一部分：高中數學知識基本框架
1，基本定義理解：
所有高中的數學知識與六部分的內容相關：數，式，方程，函式，幾何，以及簡單的數學理論基礎與應用。
什麼叫數？簡單的說，數就是用來表示某種量的多少的，比如3，67，－9。也可以用字母或其他符號來表示數，比如a, m, 這種符號可稱為未知數，或者「代數」。
什麼叫式？數和數學符號組合在一起，便構成「式」。比如1+2, a2,y=x+5.
其中，不含字母的式可稱為算術式，含字母的成為代數式。但按照初中課本的定義，算術式也可以當作是代數式的一部分。特殊的，含有關係符號（比如＜，=）的稱為關係式。
什麼叫方程？當「算術式」中含有等號的時候，就叫做等式；當「代數式」中含有等號的時候，就叫做方程。所以方程即是特殊的等式。它需要兩個條件：1，含等號，2，含未知數。
什麼叫函式呢？簡單的說，當等式中含有兩個相關變化的未知數（也就是說，任意確定其中乙個未知數的值，就能對應得到另乙個未知數的唯一的值）時，這個等式就叫做函式。所以說，函式也就是一種特殊的方程，特殊的等式。
什麼叫數列？簡單的說，當函式中的自變數只能為正整數的時候，就可成為數列的通項或者求和函式。所以，數列就是特殊的函式。
而幾何，也就是與數相對應的圖形。
當數與幾何相結合，就成為平面向量；當整數與函式相結合，就構成數列，排列組合；當函式與幾何相結合，就成為直線方程、曲線方程。
2，基本知識框架：
平面向量第五章
數複數第十四章
算術式：
代數式：極限第十二章
式不等式：不等式第六章
關係式等式
高中數學直線與圓的方程第七章
方程圓錐曲線方程第八章
二次函式第二章
函式數列第三章
三角函式第四章
導數與微分第十三章
幾何直線、平面、簡單幾何體第九章
集合與簡易邏輯第一章
理論與應用排列組合第十章
概率與統計第十一章
第二部分：知識與方法歸納
第一篇函式
在高中數學中，函式、不等式、數列和方程大約佔到百分之七十五的比例。因此，我們在這裡重點講解這幾章。
函式是高中數學的基礎，其知識點主要有三個部分：函式的基本分類；函式的基本性質與證明，以及有關函式的求解。
一，函式的基本分類（解析式、定義域、值域）基本
函式特殊
函式以上共有十六種函式形式，其中前十三種為基本初等函式，須背住！
二，函式的基本性質（五種）
1， 單調性.
在定義域中的某一區間內，任取兩個點x1,x2,當x1﹥x2時，都有f(x1)﹥f(x2),則稱該函式在這一區間內單調遞增，為增函式。反之為減函式。
奇函式在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函式在兩個對稱的區間上具有相反的單調性。
單調性的證明：第一步，取點x1,x2屬於某區間，第二步，規定x1,x2的大小，第三步，做f(x1)與f(x2)的差或者商，再與0或者1比較。見例1.
也可求導，判斷導函式的正負，再判斷單調性。
2， 奇偶性.
定義：對於函式f(x),如果對於任意的乙個x,都有f(-x)=-f(x),則f(x)叫做奇函式；如果f(-x)=-f(x),則為偶函式。
性質：（1）奇函式、偶函式的定義域關於0對稱；奇函式的影象關於原點對稱，而偶函式的影象關於y軸對稱。
（2）兩個奇函式的和、差是奇函式，積、商是偶函式。
（3）兩個偶函式的和、差、積、商都是偶函式。
（4）一奇一偶的兩個函式的積、商是奇函式。
（5）f(x)為偶函式，則f(x)=f(∣x∣)
(6 )若f(x)為奇函式，定義域包含0，則f(0)=0.
（7）若f(x)既是奇函式也是偶函式，則f(x)=0.
奇偶性的證明：若能證明等式f(-x)=-f(x)或f(-x)+ f(x)=0，則為奇函式；若能證明等式f(-x)=-f(x)或f(-x)-f(x)=0，則可證得為偶函式。見例2.
3， 週期性.
對函式f(x),存在常數t（不等於0），使得f(x)=f(x+t).則稱f(x)為週期函式。t為函式的週期。且kt也為函式的週期。
若f(x)滿足f(x+a)=f(x+b)恆成立，其中a,b均為常數，且a≠0,則t=a－b是函式的乙個週期。
4， 反函式性.
求反函式：先解出x,然後互換x,y,再標出定義域。（若先交換x,y也可求出。）見例3.
（1）反函式與原函式的影象關於直線y=x對稱。
（2）反函式的定義域等於原函式的值域，反函式的值域等於原函式的定義域。
（3）反函式一定具有單調性。奇函式的反函式也是奇函式。而偶函式不一定具有。
5， 影象平移與對稱性.
水平平移：y=f(x±a)（a>0）的影象是由y=f(x)的影象向左或向右平移a個單位得到；
豎直平移：y=f(x) ±b(b>0)的影象是由y=f(x)的影象向上或向下平移b個單位得到。
（1）若對定義域內的一切x均有f(x+m)=f(m－x),則y=f(x)的影象關於直線x=m對稱；y=f(x)與y=2b－f(2a－x)的影象關於點（a,b）中心對稱。
（2）把函式y=f(x)的影象位於x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻摺到上方，就得到y=∣f(x) ∣影象；把函式y=f(x)的影象位於y軸右邊的部分以y軸為對稱軸翻摺到左邊，就得到y=f(∣x∣)在y軸左邊部分的影象。
（3）若f(a+x)=f(b－x),x∈r恆成立，則y=f(x)的影象關於x=(a+b)/2成軸對稱圖形。
（4）若函式f(x)關於x=m和x=n對稱，則f(x)是週期函式，且2∣m－n∣是它的乙個週期。
（5）函式y=f(a+x)與函式y=f(b－x)的影象關於直線x=(b－a)/2對稱
三，函式的求解（五種）
1, 求函式的解析式
方法一：直接代入法。已知f(x)與g(x),求f[g(x)],直接把g(x)代入f(x)即可。見例4.
方法二：換元法。有幾種換元的方式。已知f(x)和f[g(x)]求g(x)；或已知f[g(x)]和g(x).求f(x).用換元法。見例5，6.
方法三：待定係數法.已知函式的型別時，用待定係數法。見例7.
方法四：解函式方程組。要求給出的函式關係式是對稱的。通常先用賦值法得出函式方程組，再求解， 即可。見例8。
2，求函式的定義域（基本思路：轉化為解不等式）
步驟：寫出使函式有意義的不等式組；解不等式組；用區間或集合的形式寫出定義域。
（1）判斷函式定義域的主要依據：（1），分式的分母不為0，（2），偶次方根的被開方數不小於0，0的0次方無意義 ；（3）對數函式的真數必須大於0；指數函式與對數函式的底數必須大於0且不等於1.見例9.
（2）求復合函式的定義域：若已知f(x)的定義域為【a,b】,則復合函式f[g(x)]的定義域為不等式a≤g(x)≤b的解。見例10.
（3）若遇到實際問題，還要考慮實際問題有意義。
3，求函式的值域（最值）
方法一：基本函式法。對於基本函式，如果定義域無特殊規定，那麼可根據函式的影象性質直接求解。見例11.
方法二：配方法（二次函式法）。對於形如f(x)=a[f2(x)+bf(x)+c]的函式，可用配方法求值域。（見例 ）見例12.
方法三：分割槽討論法。對於定義域有特殊規定的二次函式，一般採用分割槽討論（以兩個零點和對橫軸橫座標點為分界，可以把整個區間分成四段，加上對稱軸的情形，共有五種可能情況，如果二次項係數不定，還需要討論開口方向），再借助於區間單調性來求（見例）。
定義域有規定的其他型別（對數函式、指數函式、根式函式、冪函式、一次函式、高次函式等）基本函式都可直接利用函式的單調性來判斷函式的最值。分段函式也用分割槽討論法。見例13，14.
方法四：反函式法。對於y=（a、c不為0）的一次分式的形式，可以通過求反函式的定義域來求。
（見例15）. 簡單結論為 y∈r且y≠a/c. 也可用分離常數法來求解。
但是，當定義域有特殊規定時，就要求出反函式後解不等式。(見例16.)
方法五：判別式法。對於形如y=(ax2+bx+c)/dx2+ex+f 的二次分式形式,可先轉化為關於x的方程，此方程必須有解，故當二次項係數不為0時，△≥ 0。
解出便得到值域。注意，定義域不能有特殊規定。見例17。
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