還雙曲線及其標準方程
一、教學目標
(一)知識教學點
1.掌握雙曲線定義、標準方程；
2.掌握焦點、焦距、焦點位置與方程關係；
3.認識雙曲線的變化規律.
(二)能力訓練點
在與橢圓的模擬中獲得雙曲線的知識，從而培養學生分析、歸納、推理等能力．
(三)學科滲透點
本次課注意發揮模擬和設想的作用，與橢圓進行模擬、設想，使學生得到關於雙曲線的定義、標準方程乙個比較深刻的認識．
二、教材分析
1．重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程．
(解決辦法：通過乙個簡單實驗得出雙曲線，再通過設問給出雙曲線的定義；對於雙曲線的標準方程通過比較加深認識．)
2．難點：雙曲線的標準方程的推導．
(解決辦法：引導學生完成，提醒學生與橢圓標準方程的推導模擬．)
3．疑點：雙曲線的方程是二次函式關係嗎？
(解決辦法：教師可以從引導學生回憶函式定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時讓學生在課外去研究在什麼附加條件下，雙曲線方程可以轉化為函式式．)
三、活動設計
教學方法啟發引導式
教具準備三角板、雙曲線演示模板、幻燈片
提問、實驗、設問、歸納定義、講解、演板、口答、重點講解、小結．
四、教學過程
(一)複習提問
1．橢圓的定義是什麼？(學生回答，教師板書)
平面內與兩定點f1、f2的距離的和等於常數(大於|f1f2|)的點的軌跡叫做橢圓．教師要強調條件：(1)平面內；(2)到兩定點f1、f2的距離的和等於常數；(3)常數2a＞|f1f2|．
2．橢圓的標準方程是什麼？(學生口答，教師板書)
(二)雙曲線的概念
把橢圓定義中的「距離的和」改為「距離的差」，那麼點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？
1．簡單實驗(邊演示、邊說明)
如圖2-23，定點f1、f2是兩個按釘，mn是乙個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點m移動時，|mf1|-|mf2|是常數，這樣就畫出曲線的一支；由|mf2|-|mf1|是同一常數，可以畫出另一支．
注意：常數要小於|f1f2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線．
2．設問
問題1：定點f1、f2與動點m不在平面上，能否得到雙曲線？
請學生回答，不能．強調「在平面內」．
問題2：|mf1|與|mf2|哪個大？
請學生回答，不定：當m在雙曲線右支上時，|mf1|＞|mf2|；當點m在雙曲線左支上時，|mf1|＜|mf2|．
問題3：點m與定點f1、f2距離的差是否就是|mf1|-|mf2|？
請學生回答，不一定，也可以是|mf2|-|mf1|．正確表示為||mf2|-|mf1||．
問題4：這個常數是否會大於等於|f1f2|？
請學生回答，應小於|f1f2|且大於零．當常數=|f1f2|時，軌跡是以f1、f2為端點的兩條射線；當常數＞|f1f2|時，無軌跡．
3．定義
在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義：
平面內與兩定點f1、f2的距離的差的絕對值是常數(小於|f1f2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點f1、f2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距．
教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記．
(三)雙曲線的標準方程
現在來研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．這時設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什麼？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導．
標準方程的推導：
(1)建系設點
取過焦點f1、f2的直線為x軸，線段f1f2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)
建立直角座標系．
設m(x，y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那麼f1、f2的座標分別是(-c，0)、(c，0)．又設點m與f1、f2的距離的差的絕對值等於常數．
(2)點的集合
由定義可知，雙曲線就是集合：
p==．
(3)代數方程
(4)化簡方程(由學生演板)
將這個方程移項，兩邊平方得：
化簡兩邊再平方，整理得：
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
(以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導．)
由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．
設c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：
b2x2-a2y2=a2b2．
這就是雙曲線的標準方程．
兩種標準方程的比較(引導學生歸納)：
教師指出：
(1)雙曲線標準方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大於b；
(2)如果x2項的係數是正的，那麼焦點在x軸上；如果y2項的係數是正的，那麼焦點在y軸上．注意有別於橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一座標軸上．
(3)雙曲線標準方程中a、b、c的關係是c2=a2+b2，不同於橢圓方程中c2=a2-b2．
(四)練習與例題
1．求滿足下列的雙曲線的標準方程：
焦點f1(-3，0)、f2(3，0)，且2a=4；
3．已知兩點f1(-5，0)、f2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程．如果把這裡的數字6改為12，其他條件不變，會出現什麼情況？
由教師講解：
按定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．
因為2a=12，2c=10，且2a＞2c．
所以動點無軌跡．
(五)小結
1．定義：平面內與兩定點f1、f2的距離的差的絕對值等於常數(小於|f1f2|)的點的軌跡．
3．圖形(見圖2-25)：
4．焦點：f1(-c，0)、f2(c，0)；f1(0，-c)、f2(0，c)．
5．a、b、c的關係：c2=a2+b2；c=a2+b2．
五、布置作業
1．根據下列條件，求雙曲線的標準方程：
(1)焦點的座標是(-6，0)、(6，0)，並且經過點a(-5，2)；
3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點座標．
作業答案：
2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1
六、板書設計
高中數學教案 雙曲線的定義及其標準方程
2011.11 1.教材分析 學生初步認識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學習是對其研究內容的進一步深化和提高。如果雙曲線研究的透徹 清楚，那麼拋物線的學習就會順理成章。所以說本節課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究，橫向為雙曲線的簡單性質的學習打下基礎。2 學情分析 學生在學習這節課之前，...
高中數學《雙曲線的定義及其標準方程》說課稿新人教A版
雙曲線的定義及其標準方程 說課稿 各位專家，各位老師 大家好！我叫姜萍，來自於牡丹江市第一高階中學。很高興能在這裡和大家進行交流。我說課的題目是 雙曲線的定義及其標準方程 內容選自於北師大版 高中數學實驗教材 高二下冊第九章第二單元第一小節，課時安排為兩課時，本課內容為第一課時。下面我將從教材分析與...
雙曲線及其標準方程教案
通過對雙曲線概念和標準方程的探索，培養學生觀察分析抽象的能力，體驗解析思想，激發學生 事物運動規律，進一步認清事物的本質特徵的興趣 五重點難點 重點 雙曲線的定義及其標準方程 難點 準確理解表述雙曲線的定義，標準方程的推導 六課前準備 教具準備 全班按4人一組分成若干組，每組準備8k紙一張，拉鍊一根...