點圓直線三者的關係
在軸上任一點q，做圓a：的兩條切線，切點分別為b，c，求線段bc中點的軌跡方程。
點橢圓直線三者的關係
點雙曲線直線三者的關係
點拋物線直線三者的關係
（2008．山東）如圖，設拋物線方程為x2=2py(p＞0),m為直線y=-2p上任意一點，過m引拋物線的切線，切點分別為a，b.
（ⅰ）求證：a，m，b三點的橫座標成等差數列；
（ⅱ）已知當m點的座標為（2，-2p）時，，求此時拋物線的方程；
（ⅲ）是否存在點m，使得點c關於直線ab的對稱點d在拋物線上，其中，點c滿足（o為座標原點）.若存在，求出所有適合題意的點m的座標；若不存在，請說明理由.
（ⅰ）證明：由題意設
由得，則
所以因此直線ma的方程為
直線mb的方程為
所以由①、②得
因此 ，即
所以a、m、b三點的橫座標成等差數列.
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，當x0=2時，
將其代入①、②並整理得：
所以 x1、x2是方程的兩根，
因此又所以由弦長公式得
又，所以p=1或p=2，
因此所求拋物線方程為或
（ⅲ）解：設d(x3,y3)，由題意得c(x1+ x2, y1+ y2),
則cd的中點座標為
設直線ab的方程為
由點q在直線ab上，並注意到點也在直線ab上，
代入得若d（x3,y3）在拋物線上，則
因此 x3=0或x3=2x0.
即d(0，0)或
（1）當x0=0時，則，此時，點m(0,-2p)適合題意.
（2）當，對於d(0，0)，此時
又ab⊥cd，
所以即矛盾.
對於因為此時直線cd平行於y軸，
又所以直線ab與直線cd不垂直，與題設矛盾，
所以時，不存在符合題意的m點.
綜上所述，僅存在一點m(0，-2p)適合題意.
（2023年全國卷ii）已知拋物線x2＝4y的焦點為f，a、b是拋物線上的兩動點，且＝λ（λ＞0）．過a、b兩點分別作拋物線的切線，設其交點為ｍ．
（ⅰ）證明·為定值；
（ⅱ）設△abm的面積為s，寫出s＝f(λ)的表示式，並求s的最小值．
解：(ⅰ)由已知條件，得f(0，1)，λ＞0．
設a(x1，y1)，b(x2，y2)．由＝λ，
即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，
將①式兩邊平方並把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
拋物線方程為y＝x2，求導得y′＝x．
所以過拋物線上a、b兩點的切線方程分別是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，
即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出兩條切線的交點m的座標為(，)＝(，－1)． ……4分
所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
所以·為定值，其值為0． ……7分
(ⅱ)由(ⅰ)知在△abm中，fm⊥ab，因而s＝|ab||fm|．
|fm|＝＝
＝＝＝＋．
因為|af|、|bf|分別等於a、b到拋物線準線y＝－1的距離，所以
|ab|＝|af|＋|bf|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
於是 s＝|ab||fm|＝(＋)3，
由＋≥2知s≥4，且當λ＝1時，s取得最小值4．
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