8 12橢圓雙曲線拋物線的統一定義

8.7 橢圓、雙曲線、拋物線的統一定義

1．橢圓、雙曲線、拋物線的統一定義是在平面上，若動點m與乙個定點f及m到一條定直線（定點m不在定直線上）距離之比等於常數f，當0<<1時，點m的軌跡是橢圓；當》l時，點m的軌跡為雙曲線；當＝1時，點m的軌跡為拋物線．

2．橢圓上點m（）的左焦點半徑，右焦點半徑，橢圓手上點p（）的下焦點半徑，上焦點半徑．希望注意雙曲線的焦半徑與橢圓的焦半徑的區別．

3．雙曲線上一點p（）的焦半徑公式

（1），，；

（2），，．

4．拋物線和拋物線的焦半徑公式：

，例1 如圖所示，已知橢圓c的焦點是，，點到相應的準線的距離為，過點且傾斜角為銳角的直線與橢圓c交於a、b兩點，使得，．

（1）求橢圓c的方程；（2）求直線的方程．

例2 已知雙曲線的離心率的取值範圍為，左、右焦點分別為f1、f2，左準線為，能否在雙曲線的左支上找到一點p，使得是p到的距離d與的等比中項?

例3 如圖所示．有一張長為8，寬為4的矩形紙片abcd，按圖示的方法進行摺疊，使每次摺疊後點b都落在ad邊上．此時將b記為b』，（注：圖中fe為摺痕．點f也可落在邊cd上）．過b』作b』∥cd交ef於點t．求點t的軌跡方程．

例4 已知線段ab的兩個端點在橢圓上滑動，且，m為ab的中點，求m到軸的最大距離．

例5 已知ab是雙曲線過右焦點f1，且端點均在右支上的一條弦；求證：為定值，並求出該定值．

例6 一動點到定直線的距離是它到定點f（4，0）的距離的，求這個動點的軌跡方程．

1．已知雙曲線9y2－m2x2＝1（m>0）的乙個頂點到它的一條漸近線的距離為，則m

a．1b．2c．3d．4

2．已知點p是拋物線y2＝2x上的乙個動點，則點p到點（0,2）的距離與p到該拋物線準線的距離之和的最小值為

ab．3cd．

3．已知拋物線y2＝2px（p>0），過焦點且斜率為1的直線交拋物線於a、b兩點，若線段ab的中點的縱座標為2，則該拋物線的準線方程為

a．x＝1b．x＝－1c．x＝2d．x＝－2

4．過原點的直線l與雙曲線－＝－1交於兩點，則直線l的斜率的取值範圍是

a．　 b．∪c． d．∪

5．設p是雙曲線x2－＝1的右支上的動點，f為雙曲線的右焦點，已知a（3,1），則|pa|＋|pf|的最小值為________．

6．如圖，拋物線頂點在原點，圓x2＋y2－4x＝0的圓心恰是拋物線的焦點．

（1）拋物線的方程為________；

（2）一直線的斜率等於2，且過拋物線焦點，它依次截拋物線和圓於a、b、c、d四點，則|ab|＋|cd

7．已知橢圓的方程是，它的兩個焦點分別為f1、f2，且，弦ab過，則△ab f2的周長為

8．若點a的座標為（3，2），f為拋物線的焦點，點p是拋物線上一動點，則取得最小值時點p的座標是

9．已知點f為雙曲線的右焦點，m是雙曲線右支上一動點，定點a的座標是（5，1），則的最小值為

10．p（）是橢圓上任意一點，f1、f2是它的左、右焦點，則的最大值為

解答題11．如圖所示，m，n是橢圓c1：的一條弦，a（1，－2）是mn的中點，以a為焦點，以橢圓c2的下準線為相應準線的雙曲線c2與直線mn交於點b（－l，－4），設曲線c1，c2的離心率分別為．

（1）試求的值，並用表示雙曲線的離心率；

（2）當時，求的值．

12．如圖,點是橢圓的乙個頂點,的長軸是圓的直徑.是過點且互相垂直的兩條直線,其中交圓於兩點,交橢圓於另一點

（1）求橢圓的方程;

（2）求面積取最大值時直線的方程.

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