北京四中
撰稿：安東明編審：安東明責編：辛文公升
本週重點：圓錐曲線的定義及應用
本週難點：圓錐曲線的綜合應用
本週內容：
一、圓錐曲線的定義
1. 橢圓：到兩個定點的距離之和等於定長（定長大於兩個定點間的距離）的動點的軌跡叫做橢圓。即：。
2. 雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值（定值小於兩個定點的距離）的動點軌跡叫做雙曲線。即。
3. 圓錐曲線的統一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。當01時為雙曲線。
二、圓錐曲線的方程。
1.橢圓：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）
2.雙曲線：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）
3.拋物線：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）
三、圓錐曲線的性質
1.橢圓：+=1（a>b>0）
（1）範圍：|x|≤a，|y|≤b
（2）頂點：(±a,0)，(0,±b)
（3）焦點：(±c,0)
（4）離心率：e=∈(0,1)
（5）準線：x=±
2.雙曲線：-=1（a>0, b>0）
（1）範圍：|x|≥a, y∈r
（2）頂點：(±a,0)
（3）焦點：(±c,0)
（4）離心率：e=∈(1,+∞)
（5）準線：x=±
（6）漸近線：y=±x
3.拋物線：y2=2px(p>0)
（1）範圍：x≥0, y∈r
（2）頂點：（0,0）
（3）焦點：（,0）
（4）離心率：e=1
（5）準線：x=-
四、例題選講：
例1.橢圓短軸長為2，長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到準線的距離是
解：由題：2b=2，b=1，a=2，c==，則橢圓中心到準線的距離：==。
注意：橢圓本身的性質（如焦距，中心到準線的距離，焦點到準線的距離等等）不受橢圓的位置的影響。
例2.橢圓+=1的離心率e=，則m
解：（1）橢圓的焦點在x軸上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2===m=8。
（2）橢圓的焦點在y軸上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2===m=2。
注意：橢圓方程的標準形式有兩個，在沒有確定的情況下，兩種情況都要考慮，切不可憑主觀丟掉一解。
例3.如圖：橢圓+=1（a>b>0），f1為左焦點，a、b是兩個頂點，p為橢圓上一點，pf1⊥x軸，且po//ab，求橢圓的離心率e。
解：設橢圓的右焦點為f2，由第一定義：|pf1|+|pf2|=2a,
∵ pf1⊥x軸，∴ |pf1|2+|f1f2|2=|pf2|2，
即(|pf2|+|pf1|)(|pf2|-|pf1|)=4c2,
∴ |pf1|=。
∵ po//ab，∴ δpf1o∽δboa,
∴ = c=ba=c, ∴ e==。
又解，∵ pf1⊥x軸，∴ 設p(-c, y)。
由第二定義：=e|pf1|=e(x0+)=(-c+)=,
由上解中δpf1o∽δboa，得到b=ce=。
例4.已知f1，f2為橢圓+=1的焦點，p為橢圓上一點，且∠f1pf2=，求δf1pf2的面積。
分析：要求三角形的面積，可以直接利用三角形的面積公式，注意到橢圓中一些量之間的關係，我們選用面積公式s=absinc。
解法一：sδ=|pf1|·|pf2|·sin
|pf1|+|pf2|=2a=20，
4×36=4c2=|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1||pf2|cos，
即(|pf1|+|pf2|)2-3|pf1||pf2|=4×36，
|pf1|·|pf2|=
∴ sδ=××=。
解法二：sδ=|f1f2|·|yp|=×12×yp=6|yp|，
由第二定義：=e|pf1|=a+exp=10+xp，
由第一定義：|pf2|=2a-|pf1|=10-xp，
4c2=|f1f2|2=(10+xp)2+(10-xp)2-2(10+xp)(10-xp)cos，
144=100+=， =64(1-)=64×，
sδ=6|yp|=6×=。
注意：兩個定義聯合運用解決問題。從三角形面積公式均可得到結果。初學時最好兩種辦法都試試。
例5.橢圓+=1 的焦點為f1和f2，點p在橢圓上，若線段pf1的中點在y軸上，求：|pf1|，|pf2|。
分析：先要根據題意畫出圖形，然後根據已知量，將關於|pf1|，|pf2|的表示式寫出來，再求解。
解：如圖，∵o為f1f2中點，pf1中點在y軸上，∴pf2//y軸，∴pf2⊥x軸，
由第一定義：|pf1|+|pf2|=2a=4，
|pf1|2-|pf2|2=|f1f2|2，
(|pf1|-|pf2|)(|pf1|+|pf2|)=4×9=36，
。例6.橢圓：+=1內一點a（2，2），f1，f2為焦點，p為橢圓上一點，求|pa|+|pf1|的最值。
解：|pa|+|pf1|=|pa|+2a-|pf2|=10+|pa|-|pf2|≤|af2|+10=2+10，
|pa|+|pf1|=|pa|+10-|pf2|=10-(|pf2|-|pa|)≥10-|af2|=10-2。
注意：利用幾何圖形的性質：三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
例7.已知：p為雙曲線-=1（a>0, b>0）上一點，f1，f2為焦點，a1，a2為其頂點。求證：以pf1為直徑的圓與以a1，a2為直徑的圓相切。
證明：不妨設p在雙曲線的右支上，設pf1中點為o＇, a1a2中點為o，
|oo＇|=|pf2|，圓o半徑為|a1a2|，圓o＇半徑為|pf1|
由雙曲線定義：|pf1|-|pf2|=|a1a2|
|pf1|-|a1a2|=|pf2|=|oo'|
∴ 兩個圓相內切。
注意：可以自己證出p在左支時，兩圓相外切。
例8.已知：過拋物線y2=2px(p>0)焦點f的直線與拋物線交於p，q兩點。求證：以線段pq為直徑的圓與準線相切。
證明：由定義知，如圖：|pp＇|=|pf|, |qq＇|=|qf|
|pq|=|pp＇|+|qq＇|，|pq|=(|pp＇|+|qq＇|)，
故圓心到準線的距離等於圓的半徑，即圓和準線相切。
五、課後練習
1. 橢圓+=1上一點p與橢圓兩焦點連線互相垂直，則δpf1f2的面積為（ ）
a、20 b、22 c、28 d、24
2. 若點p(a,b)是雙曲線x2-y2=1右支上一點，且p到漸近線距離為，則a+b=( )
a、- b、 c、-2 d、2
3. 焦點在直線3x-4y-12=0上的拋物線的標準方程是（ ）
a、y2=16x或x2=16y b、y2=16x或x2=-16y
c、x2=-12y或y2=16x d、x2=16y或y2=-12x
4. 已知：橢圓+=1（a>b>0）上兩點p、q，o為原點，op⊥oq，求證：+為定值。
六、練習答案：
1. d 2. b 3. c
4. 設p(|op|cosα, |op|sinα), q(|oq|cos(α+90°), |oq|sin(α+90°))，利用兩點距離公式及三角公式，+=。
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