作業1：
彈性力學主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產生的應力、應變和位移，從而解決結構或機械設計中所提出的強度和剛度問題。它是材料力學、結構力學、塑性力學和某些交叉學科的基礎，廣泛應用於建築、機械、化工、航天等工程領域。 彈性體是變形體的一種，它的特徵為：
在外力作用下物體變形，當外力不超過某一限度時，除去外力後物體即恢復原狀。絕對彈性體是不存在的。物體在外力除去後的殘餘變形很小時，一般就把它當作彈性體處理。
物體處在平衡狀態，其內部的每一點都處於平衡狀態。使用乙個微六面體代表物體內的一點，則作用在該微六面體上的所有力應滿足平衡條件，由此可以匯出平衡微分方程。
如圖1所示，取直角座標系的座標軸和邊重合，各邊的長度分別為dx，dy，dz。在微六面體x=0面上，應力是σxτxyτxz；在x=dx面上的應力，
圖1根據應力函式的連續性並按泰勒級數對x=0的面展開，略去高階項，可得
同理，可由y=0，z=0面上的應力表示y=dy，z=dz面上的應力。最後，所有各面上的應力如圖一示。
當彈性體平衡時，p點的平衡就以微元體平衡表示。這樣，就有6個平衡方程
考慮微單元體沿x方向的平衡，可得
整理上式並除以微單元體的體積dxdydz，得
（1）同理，建立y、z方向的平衡條件，可得
（2）這就是彈性力學的平衡微分方程，其中x，y，z是單位體積裡的體積力沿x，y，z方向上的分量。
考慮圖一中微單元體的力矩平衡。對通過點c平衡於x方向的軸取力矩平衡得
於是力矩平衡方程在略去高階項之後只剩兩項
由此可得
同理可得
這既是剪應力互等定理。它表明：在兩個互相垂直的平面上，與兩個平面的交線垂直的剪應力分量的大小相等，方向指向或者背離這條交線。
根據剪應力互等定理，式（1）和（2）中包含的九個應力分量中只有6個是獨立的，這6個應力描述了物體內部的任意一點的應力狀態。
物理方程的矩陣形式
其中矩陣[d]稱為三維應力狀態下的彈性矩陣
位移解法是以位移分量作為基本未知量的解法。把平衡方程、本構方程和幾何方程簡化為三個用位移分量表示的平衡方程，從中解出位移分量。然後再代回幾何方程和本構方程，進而求出應變分量和應力分量。
應力解法是以應力分量作為基本的未知數的解法。由協調方程、本構方程和平衡方程簡化出六個用應力分量表示的協調方程，再加上平衡方程和力邊界條件解出六個應力分量。然後由本構方程求出應變分量，再對幾何方程積分即可得到位移分量。
由於應力與應變間的胡克定律是代數方程，應變解法的求解難度不會比應力解法有實質性的改善，而邊界條件用應力表示則方便很多，所以很少採用應變解法。
在位移解法中，引進三個單值連續的位移函式，使協調方程自動滿足，問題被歸結為求解三個用位移表示的位移方程。應變分量可由位移偏導數的組合來確定。與此類似，在應力解法中也有可以引進某些自動滿足平衡方程的函式，稱之為應力函式，把問題歸結為求解用應力函式表示的協調方程。
應力分量可由應力函式偏導數的組合來確定。
應力函式解法既保留了應力解法的優點（能直接求出應力分量），又吸收了位移解法的思想（能自動滿足平衡方程，基本未知數降為三個），所以是彈性力學理論中最常用的解法之一。
（1） 確定應力函式的邊界條件
圖2以a（0，h/2）為起始點，調整中的任意常數使
（a）選左手座標系且m以逆時針為正，應力函式在邊界條件上滿足
逆時針向：（b）
順時針向：（c）
其中，г為流動邊界點。rx，ry和mг分別是從a點起算的邊界載荷對г點簡化的主向量和逆時鐘向主距。
在下邊界ab上，載荷處處為零。由（b）式得：
（d）左邊界ac是放鬆邊界，不必逐點給定φ及其偏導數值。在邊界cd上，按順時鐘向公式（c）得
（e）（2）選擇域內應力函式
由應力函式沿主要邊界的分布規律可看出，φ沿x方向按二次多項式規律變化，沿y方向的規律未知，由此可選
（f）帶入邊界條件（d（e）可以定出待定函式的邊界條件
當y=h/2時，f0=f1= f2=0
（g）當y=－2時，f0=－m；f1=－p；f2=－q
（h）（3）求待定函式
由邊界條件（g）可得出各待定常數：
（i）進而可得：
（j）最後帶回到公式（f）中得：
（k）（4）求應力
把（k）式代入應力公式
可以得到：
（l）例2：矩形薄板
圖3取座標軸如圖所示，把位移函式設為
所以不論各係數如何取值，上式都滿足固定邊的位移邊界條件：
按瑞利-里茲法求解。板的應力邊界條件為
板上邊界：
板下邊界：
板右邊界：
將位移試函式代入式
得：將位移試函式代入應變勢能表示式，通過積分運算，將結果代入上面六個方程可確定6個待定係數。其結果是：
所得的位移分量為：
例3：半無限平面
圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為p，設間距d很小。試求其應力分量，並討論所求解的適用範圍。（提示：取應力函式為
圖4解：很小，，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶m的情形。
將應力函式代入，可求得應力分量：
邊界條件：
（1）；
代入應力分量式，有
或1）（2）取一半徑為r 的半圓為脫離體，邊界上受有：，和m = pd
由該脫離體的平衡，得
將代入並積分，有
得2）聯立式（1）、（2）求得：
， 代入應力分量式，得
；；。 結果的適用性：由於在原點附近應用了聖維南原理，故此結果在原點附近誤差較大，離原點較遠處可適用。
彈性力學總結
第一章緒論 一 彈性力學的內容 彈性力學的研究物件 內容和範圍。二 彈性力學的基本量 1 外力 1 體力 2 面力 2 內力 應力 3 應變 4 位移 以上基本量要求掌握其定義 表示式 分量的符號 正負號規定 量綱。三 彈性力學中的基本假定 1 連續性 2 完全彈性 3 均勻性 4 各向同性 以上是...
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