等差數列
知識要點
1．遞推關係與通項公式
是數列成等差數列的充要條件。
2．等差中項：
若成等差數列，則稱的等差中項，且；成等差數列是的充要條件。
3．前項和公式
； 是數列成等差數列的充要條件。
4．等差數列的基本性質
反之，不成立。
仍成等差數列。
5．判斷或證明乙個數列是等差數列的方法：
定義法：
是等差數列
中項法：
是等差數列
通項公式法：
是等差數列
前項和公式法：
是等差數列
練習：1．等差數列中，
a．14 b．15 c．16 d．17
2．等差數列中，，則前10或11項的和最大。
解： ∴為遞減等差數列∴為最大。
3．已知等差數列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為－110
解：∵ 成等差數列，公差為d其首項為
，前10項的和為
4．設等差數列的前項和為，已知
求出公差的範圍，
指出中哪乙個值最大，並說明理由。
解：練習一、 選擇題
1． 已知等差數列中，等於（ a ）
a．15 b．30 c．31 d．64
二、解答題
2． 等差數列的前項和記為，已知
求通項；若=242，求
解： 由， =242
3．已知數列中，前和
求證：數列是等差數列
求數列的通項公式
設數列的前項和為，是否存在實數，使得對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。
解：∵∴數列為等差數列。
要使得對一切正整數恆成立，
只要≥，所以存在實數使得對一切正整數都成立，的最小值為。
等比數列
知識要點
1． 定義：如果乙個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等於同乙個常數，那麼這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，記為。
2． 遞推關係與通項公式
3． 等比中項：若三個數成等比數列，則稱為的等比中項，且為是成等比數列的必要而不充分條件。
4． 前項和公式
5． 等比數列的基本性質，
反之不真！
為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列。
仍成等比數列。
6． 等比數列與等比數列的轉化
是等差數列是等比數列；
是正項等比數列是等差數列；
既是等差數列又是等比數列是各項不為零的常數列。
7． 等比數列的判定法
定義法： 為等比數列；
中項法： 為等比數列；
通項公式法： 為等比數列；前項和法： 為等比數列。
練習：1．
2． 已知數列是等比數列，且70
猜想：是等比數列，公比為。
證明如下：∵
即：，∴是首項為，公比為的等比數列。
二、性質運用
例1：在等比數列中， 求，若
解： 由等比數列的性質可知：
由等比數列的性質可知，是等差數列，因為
典例精析
一、 錯位相減法求和
例1：求和：
解：由－得：
點撥：若數列是等差數列，是等比數列，則求數列的前項和時，可採用錯位相減法；
當等比數列公比為字母時，應對字母是否為1進行討論；
當將與相減合併同類項時，注意錯位及未合併項的正負號。
二、 裂項相消法求和
例2：數列滿足=8， （）
求數列的通項公式；
則所以， =8＋（－1）×（－2）＝10－2
對一切恆成立。
故的最大整數值為5。
點撥：若數列的通項能轉化為的形式，常採用裂項相消法求和。
使用裂項消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項。
一．求數列的最大、最小項的方法：
1、配方法法：
例：已知數列的通項公式為：，求數列的最大項。
2、比較法：若則最大
例：已知數列的通項公式為：，求數列的最大項。
3、利用函式的單調性： 研究函式的增減性
例：已知數列的通項公式為：，求數列的最大項。
二．數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數列的通項結構。
1、分組法求數列：通項雖然不是等差等比數列，但通過拆分可以化為由等差、等比的和的形式，再分別用公式法求和。
例：已知數列的通項為：，求
2、錯位相減法：利用等比數列前項和公式的推導方法求解，一般可解決乙個等差數列和乙個等比數列對應項相乘所得數列的求和。
說明：（1）一般地，如果數列是等差數列，是等比數列且公比為，求數列的前項和時，可採用這一思路和方法。具體做法是：乘以常數，然後錯位相減，使其轉化為等比數列問題求解。
要善於識別題目型別，特別是當等比數列部分中公比為負數的情形更值得注意。
（2）在寫出「」與「」的表示式時，應特別注意將兩式「錯項對齊」，以便於下一步準確寫出「」的表示式；
3、裂項相消法：將數列的通項裂成兩項之差求和時，正負相消，剩下首尾若干若。
常見裂項有：、
例：已知數列的通項為：，求前和
4、倒序相加法：利用等差數列前項和公式的推導方法求解，將數列正著寫，倒著寫再相加。
典例精析
例一：已知正項數列的前項和為，的等比中項，
求證：數列是等差數列；
若，數列的前項和為，求
在的條件下，是否存在常數，使得數列為等比數列？若存在，試求出；若不存在，說明理由。
解： 的等比中項，
所以數列是等差數列。
所以當且僅當3+=0，即=－3時，數列為等比數列。
通項與前n項和的關係
任意數列的前n項和；
注意：由前n項和求數列通項時，要分三步進行：
（1）求，
（2）求出當n≥2時的，
（3）如果令n≥2時得出的中的n=1時有成立，則最後的通項公式可以統一寫成乙個形式，否則就只能寫成分段的形式.
題型一歸納、猜想法求數列通項
【例1】根據下列數列的前幾項，分別寫出它們的乙個通項公式
7，77，777，7777，…
1，3，3，5，5，7，7，9，9…
解析：將數列變形為，
將已知數列變為1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得數列的通項公式為
點撥：本例的求解關鍵是通過分析、比較、聯想、歸納、轉換獲得項與項數的一般規律，從而求得通項。
題型二應用求數列通項
例2．已知數列的前項和，有，求其通項公式.
解析：當，
當又不適合上式，故
經典例題精析
型別一：迭加法求數列通項公式
1．在數列中，，，求.
解析：∵，
當時， ，
， ，
將上面個式子相加得到：
∴（），
當時，符合上式
故.例：已知數列，，，求.
【答案】
型別二：迭乘法求數列通項公式
2．設是首項為1的正項數列，且，求它的通項公式.
解析：由題意
∴∵，∴，
∴，∴，又，
∴當時，，
當時，符合上式
∴.例：在數列中，，，求.
【答案】
∴型別三：倒數法求通項公式
3．數列中，,，求.
思路點撥：對兩邊同除以得即可.
解析：∵，∴兩邊同除以得，
∴成等差數列，公差為d=5，首項，
∴，∴.
例：數列中，,，求.
【答案】.
型別四：待定係數法求通項公式
4．已知數列中，，，求.
解：設，解得
即原式化為
設，則數列為等比數列，且
∴例：已知數列滿足,而且，求這個數列的通項公式.
【答案】∵，∴
設，則，即，
∴數列是以為首項，3為公比的等比數列，
∴.型別五：和的遞推關係的應用
5．已知數列中，是它的前n項和，並且,.
(1)設,求證：數列是等比數列；
(2)設，求證：數列是等差數列；
(3)求數列的通項公式及前n項和.
解析：（1）因為，所以
以上兩式等號兩邊分別相減，得
即，變形得
因為，所以
由此可知，數列是公比為2的等比數列.
由,,所以, 所以,
所以.（2），所以
將代入得
由此可知，數列是公差為的等差數列，它的首項，
故.（3），所以
當n≥2時，
∴由於也適合此公式，
故所求的前n項和公式是.
例：若, ()，求.
【答案】當n≥2時，將代入,
∴,整理得兩邊同除以得（常數）
∴是以為首項，公差d=2的等差數列，∴.
2023年高考數學數列知識點大總結
等差數列 知識要點 1 遞推關係與通項公式 是數列成等差數列的充要條件。2 等差中項 若成等差數列，則稱的等差中項，且 成等差數列是的充要條件。3 前項和公式 是數列成等差數列的充要條件。4 等差數列的基本性質 反之，不成立。仍成等差數列。5 判斷或證明乙個數列是等差數列的方法 定義法 是等差數列 ...
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高考數學知識點之數列
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