【專題要點】
1．考查圓錐曲線的基本概念、標準方程及幾何性質等知識及基本技能、基本方法，常以選擇題與填空題的形式出現.
2．直線與二次曲線的位置關係、圓錐曲線的綜合問題:常以壓軸題的形式出現，這類問題視角新穎，常見的性質、基本概念、基礎知識等被附以新的背景，以考查學生的應變能力和解決問題的靈活程度.
3．在考查基礎知識的基礎上，注意對數學思想與方法的考查，注重對數學能力的考查，強調**性、綜合性、應用性，注重試題的層次性，堅持多角度、多層次的考查，合理調控綜合程度.
4．對稱問題、軌跡問題、多變數的範圍問題、位置問題及最值問題也是本章的幾個熱點問題，但從最近幾年的高考試題本看，難度有所降低，有逐步趨向穩定的趨勢.
【考綱要求】
（1）圓錐曲線
① 了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.
② 掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質.
③ 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質.
④ 了解圓錐曲線的簡單應用.
⑤ 理解數形結合的思想.
（2）曲線與方程
了解方程的曲線與曲線的方程的對應關係.
【知識縱橫】
【教法指引】
高考試題中，解析幾何試題的分值一般佔20％左右，而圓錐曲線的內容在試卷中所佔比例又一直穩定在14％左右，選擇、填空、解答三種題型均有．選擇、填空題主要考查圓錐曲線的標準方程及幾何性質等基礎知識、基本技能和基本方法的運用；以圓錐曲線為載體的解答題設計中，重點是求曲線的方程和直線與圓錐曲線的位置關係討論，它們是熱中之熱．解答題的題型設計主要有三類：
（1） 圓錐曲線的有關元素計算．關係證明或範圍的確定；
（2） 涉及與圓錐曲線平移與對稱變換、最值或位置關係的問題；
（3） 求平面曲線（整體或部分）的方程或軌跡．
近年來，高考中解析幾何綜合題的難度有所下降．隨著高考的逐步完善，結合上述考題特點分析，**今後高考的命題趨勢是：將加強對於圓錐曲線的基本概念和性質的考查，加強對於分析和解決問題能力的考查．因此，教學中要注重對圓錐曲線定義、性質、以及圓錐曲線基本量之間關係的掌握和靈活應用．
高考第二階段的複習，應在繼續作好知識結構調整的同時，抓好數學基本思想、數學基本方法的提煉，進行專題複習；做好「五個轉化」，即從單一到綜合、從分割到整體、從記憶到應用、從慢速摸仿到快速靈活、從縱向知識到橫向方法.這一複習過程，要充分體現分類指導、分類要求的原則，內容的選取一定要有明確的目的性和針對性，要充分發揮教師的創造性，更要充分考慮學生的實際，要密切注意學生的資訊反饋，防止過分拔高，加重負擔.因此，在圓錐曲線這一章的複習中，設計了分類複習、分層複習、層層遞進的複習步驟.
【典例精析】
1.圓錐曲線概念、性質類問題
例1.巳知橢圓的中心在座標原點，長軸在軸上，離心率為，且上一點到的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為
【解析】，，，，則所求橢圓方程為.
例2.（2009江蘇13．）如圖，在平面直角座標系中，為橢圓
的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交於點t，線段與橢圓的交點恰為線段的中點，則該橢圓的離心率為
【解析】 考查橢圓的基本性質，如頂點、焦點座標，離心率的計算等。以及直線的方程
直線的方程為：；
直線的方程為：。二者聯立解得：，
則在橢圓上，
， 解得：
例3.（2009遼寧，16）。以知f是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為
【答案】9
【解析】注意到p點在雙曲線的兩隻之間,且雙曲線右焦點為f』(4,0),
於是由雙曲線性質|pf|－|pf』|＝2a＝4，而|pa|＋|pf』|≥|af』|＝5，
兩式相加得|pf|＋|pa|≥9,當且僅當a、p、f』三點共線時等號成立.
點評: 在運用雙曲線的定義時，應特別注意定義中的條件「差的絕對值」，弄清是整條雙曲線，還是雙曲線的一支。
例4.（2009福建13）.過拋物線的焦點f作傾斜角為的直線交拋物線於a、b兩點，若線段ab的長為8，則
【解析】由題意可知過焦點的直線方程為，
聯立有，根據，得
2.與圓錐曲線有關的軌跡類問題
解析幾何主要研究兩大類問題：一是根據題設條件，求出表示平面曲線的方程；二是通過方程，研究平面曲線的性質．求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用「座標化」將其轉化為尋求變數間的關係.
這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點.解答軌跡問題時，若能充分挖掘幾何關係，則往往可以簡化解題過程．
例5．（1）一動圓與圓外切，同時與圓內切，求動圓圓心的軌跡方程，並說明它是什麼樣的曲線。
（2）雙曲線有動點，是曲線的兩個焦點，求的重心的軌跡方程。
解析：（1）（法一）設動圓圓心為，半徑為，設已知圓的圓心分別為、，
將圓方程分別配方得：，，
當與相切時，有
當與相切時，有 ②
將①②兩式的兩邊分別相加，得，
即移項再兩邊分別平方得：
兩邊再平方得：，
整理得，
所以，動圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。
（法二）由解法一可得方程，
由以上方程知，動圓圓心到點和的距離和是常數，所以點的軌跡是焦點為、，長軸長等於的橢圓，並且橢圓的中心在座標原點，焦點在軸上，
∴，，∴，，
∴，∴圓心軌跡方程為。
（2）如圖，設點座標各為，∴在已知雙曲線方程中，∴
∴已知雙曲線兩焦點為，
∵存在，∴
由三角形重心座標公式有，即 。
∵，∴。
已知點在雙曲線上，將上面結果代入已知曲線方程，有
即所求重心的軌跡方程為：
點評：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；「轉移法」求軌跡方程的方法。
例6(2009廣東卷理）已知曲線與直線交於兩點和，且．記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區域（含邊界）為．設點是上的任一點，且點與點和點均不重合．
（1）若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程
（2）若曲線與有公共點，試求的最小值．
解：（1）聯立與得，則中點，設線段的中點座標為，則，即，又點在曲線上，
∴化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，∴中點的軌跡方程為（）.
（2）曲線，
即圓：，其圓心座標為，半徑
由圖可知，當時，曲線與點有公共點；
當時，要使曲線與點有公共點，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.
3.直線和圓錐曲線關係類問題
直線與圓錐曲線的位置關係，是高考考查的重中之重，在高考中多以高檔題、壓軸題出現.主要涉及弦長、弦中點、對稱、參量的取值範圍、求曲線方程等問題.解題中要充分重視韋達定理和判別式的應用，解題的主要規律可以概括為「聯立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找範圍，曲線定義不能忘」.
突出考查了數形結合、分類討論、函式與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生「檔次」，有利於選拔的功能.
例7.已知直線與拋物線相交於兩點，為的焦點，若，則
a. b. c. d.
【解析一】設拋物線的準線為直線恆過定點p .如圖過分別作於,於, 由,則,點b為ap的中點.鏈結,則, 點的橫座標為, 故點的座標為, 故選d
【解析二】設，
，，得。
根據焦半徑公式，，，得。
求得，將其代入中得，故選d。
例8以知橢圓的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交與兩點，且
（1） 求橢圓的離心率；
（2） 求直線ab的斜率；
（3） 設點c與點a關於座標原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值
本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、圓的方程等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質及數形結合的思想，考查運算能力和推理能力.
（i） 解：由//且，得，從而
整理，得，故離心率
（ii） 解：由（i）得，所以橢圓的方程可寫為
設直線ab的方程為，即.
由已知設，則它們的座標滿足方程組
消去y整理，得.
依題意，
而由題設知，點b為線段ae的中點，所以
聯立①③解得，
將代入②中，解得.
(iii)解法一：由（ii）可知
當時，得，由已知得.
線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸
的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.
直線的方程為，於是點h（m，n）的座標滿足方程組
， 由解得故
當時，同理可得.
解法二：由（ii）可知
當時，得,由已知得
由橢圓的對稱性可知b，，c三點共線，因為點h（m，n）在的外接圓上，
且，所以四邊形為等腰梯形.
由直線的方程為,知點h的座標為.
因為，所以，解得m=c（舍），或.
則，所以.
當時同理可得
2019高考數學知識點
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