第一章集合與簡易邏輯
一、集合知識
1. 基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.
2. 集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.
3. 集合元素的特徵：確定性、互異性、無序性.
4. 集合運算：交、並、補.
5. 主要性質和運算律
（1） 包含關係：
（2） 等價關係：
（3） 集合的運算律：
交換律：
結合律:
分配律:.
0-1律：
反演律：cu(a∩b)= (cua)∪(cub) cu(a∪b)= (cua)∩(cub)
6. 有限集的元素個數
定義：有限集a的元素的個數叫做集合a的基數，記為card( a)規定 card(φ) =0.
基本公式：
(3) card(cua)= card(u)- card(a)
（4）設有限集合a, card(a)=n,則
①a的子集個數為； ②a的真子集個數為；
③a的非空子集個數為；④a的非空真子集個數為.
二．含絕對值不等式、一元二次不等式的解法
1.整式不等式的解法
根軸法（零點分段法）
①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，並將各因式x的係數化「+」；(為了統一方便)
②求根，並在數軸上表示出來；
③由右上方穿線，經過數軸上表示各根的點；
④若不等式（x的係數化「+」後）是「>0」,則找「線」在x軸上方的區間；若不等式是「<0」,則找「線」在x軸下方的區間.
（自右向左正負相間）
則不等式的解可以根據各區間的符號確定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；
②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.
2.分式不等式的解法
（1）標準化：移項通分化為》0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
（2）轉化為整式不等式（組）
3.含絕對值不等式的解法
（1）公式法：,與型的不等式的解法.
（2）定義法：用「零點分區間法」分類討論.
（3）幾何法：根據絕對值的幾何意義用數形結合思想方法解題.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
（1）根的「零分布」：根據判別式和韋達定理分析列式解之.
（2）根的「非零分布」：作二次函式圖象，用數形結合思想分析列式解之.
三．簡易邏輯
1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。
2、邏輯聯結詞、簡單命題與復合命題：
「或」、「且」、「非」這些詞叫做邏輯聯結詞；不含有邏輯聯結詞的命題是簡單命題；由簡單命題和邏輯聯結詞「或」、「且」、「非」構成的命題是復合命題。
構成復合命題的形式：p或q(記作「p∨q」 )；p且q(記作「p∧q」 )；非p(記作「┑q」 ) 。
3、「或」、 「且」、 「非」的真值判斷
（1）「非p」形式復合命題的真假與f的真假相反；
（2）「p且q」形式復合命題當p與q同為真時為真，其他情況時為假；
（3）「p或q」形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真．
4、四種命題的形式：
原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；
否命題：若┑p則┑q；逆否命題：若┑q則┑p。
(1)交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題；
(2)同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題；
(3)交換原命題的條件和結論，並且同時否定，所得的命題是逆否命題．
5、四種命題之間的相互關係：
乙個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關係：(原命題逆否命題)
①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。
②、原命題為真，它的否命題不一定為真。
③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。
6、如果已知pq那麼我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。
若pq且qp,則稱p是q的充要條件，記為pq.
7、反證法：從命題結論的反面出發（假設），引出(與已知、公理、定理…)矛盾，從而否定假設證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。
第二章、函式
一、函式與對映的定義
①對映的定義：
設集合a,b是兩個集合，如果按照某種對應關係f，對應集合a中的任何乙個元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應，那麼，這樣的對應（包括集合a,b，以及集合a到集合b的對應關係f）叫做集合a到集合b的對映，記作。
②函式的定義：設a,b是非空數集，如果按某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數和它對應，那麼就稱為從集合a到集合b的乙個函式，記作： ，其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域
③函式的三要素：定義域，值域，對應法則。
二、函式的性質
（1）定義域：
（2）值域：
（3）奇偶性（在整個定義域內考慮）
①定義：
②判斷方法：ⅰ.定義法步驟：a.求出定義域；
b.判斷定義域是否關於原點對稱； c.求；
d.比較或的關係。
圖象法：即根據圖象的對稱性判別
③已知：
若非零函式的奇偶性相同，則在公共定義域內為偶函式
若非零函式的奇偶性相反，則在公共定義域內為奇函式
④常用的結論：若是奇函式，且，則；
常見的奇函式：① ②
③④⑤⑥
非奇非偶函式f（x）=.
（4）單調性（在定義域的某乙個子集內考慮）
①定義：
②證明函式單調性的方法：
定義法步驟： a.設； b.作差；
（一般結果要分解為若干個因式的乘積，且每乙個因式的正或負號能清楚地判斷出）
c.判斷正負號。
③求單調區間的方法：
a.定義法： b. 圖象法： c.復合函式在公共定義域上的單調性：
若f與g的單調性相同，則為增函式；
若f與g的單調性相反，則為減函式。
注意：先求定義域，單調區間是定義域的子集。
④一些有用的結論：
a.奇函式在其對稱區間上的單調性相同； b.偶函式在其對稱區間上的單調性相反；
c.在公共定義域內
增函式增函式是增函式； 減函式減函式是減函式；
增函式減函式是增函式； 減函式增函式是減函式。
⑤掌握函式的圖象和性質；
（5）函式的週期性
定義：若t為非零常數，對於定義域內的任一x，使恆成立
則f(x)叫做週期函式，t叫做這個函式的乙個週期。
y=f(x)對x∈r時，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a>0)恆成立,則y=f(x)是週期為2a的週期函式；
若y=f(x)是偶函式，其影象又關於直線x=a對稱，則f(x)是週期為2︱a︱的週期函式；
若y=f(x)是奇函式，其影象又關於直線x=a對稱，則f(x)是週期為4︱a︱的週期函式；
若y=f(x)關於點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是週期為2的週期函式；
y=f(x)的圖象關於直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函式y=f(x)是週期為2的週期函式；
三、函式的圖象
1、基本函式的圖象：（1）一次函式、（2）二次函式、（3）反比例函式、（4）指數函式、（5）對數函式、（6）三角函式。
2、圖象的變換
（1）平移變換
①函式y=f(x+a),(a>0)的圖象是把函式y=f(x)的圖象沿x軸；
②函式y=f(x+a),(a<0)的圖象是把函式y=f(x)的圖象沿x軸右平；
③函式y=f(x)+a,(a>0)的圖象是把函式y=f(x)的圖象沿y軸平；
④函式y=f(x)+a,(a<0)的圖象是把函式y=f(x)的圖象沿y軸平。
（2）對稱變換
①函式與函式的圖象關於直線x=0（即y軸）對稱；
函式與函式的圖象關於直線y=0（即x軸）對稱；
函式與函式的圖象關於座標原點對稱；
②如果函式y=f(x)對於一切都有f(x+a)=f(a-x)，那麼y=f(x) 的圖象關於直線對稱。
如果函式y=f(x)對於一切都有f(x+a)=f(b-x)，那麼y=f(x) 的圖象關於直線x=對稱。
③函式與函式的圖象關於直線x=0對稱。
函式與函式y=f(b-x)的圖象關於直線x=對稱
④⑤⑥與關於直線對稱。
⑦證明函式影象的對稱性，即證明影象上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在影象上；反之亦然；
（3）伸縮變換
①的圖象，可將的圖象上的每一點的縱座標伸長或縮短到原來的倍。
②的圖象，可將的圖象上的每一點的橫座標伸長或縮短到原來的倍。
四、函式的反函式
1、求反函式的步驟：
1 求原函式，的值域b ②把看作方程，解出；
③x，y互換的的反函式為，。
2、注意：（1）定義域上的單調函式必有反函式；（2）奇函式的反函式也是奇函式；（4）週期函式不存在反函式；（5）互為反函式的兩個函式具有相同的單調性；
五、求函式的值域的常用解題方法：
1 配方法。如函式的值域，特點是可化為二次函式的形式；
②換元法：如y=
③單調性：如函式x∈[1,2]
④利用反函式的思想：如函式y=
⑤利用函式的影象：如函式y=|x+3|+|x－2|
⑥判別式法（△法） 如函式y=
⑦利用基本不等式：
⑧利用表示式的幾何意義：
如函式 y=+
=六、函式、方程與不等式
1、（1）(a>0,a≠1,b>0,m,n∈r+);
(2) l oga n= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(4) a log a n= n ( a>0,a≠1,n>0 );
2、「實係數一元二次方程有實數解」轉化為「」，你是否注意到必須；當=0時，「方程有解」不能轉化為。若原題中沒有指出是「二次」方程、函式或不等式，你是否考慮到二次項係數可能為零的情形？
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