複數一．知識網路圖
二．複數中的難點
(1)複數的向量表示法的運算.對於複數的向量表示有些學生掌握得不好，對向量的運算的幾何意義的靈活掌握有一定的困難.對此應認真體會複數向量運算的幾何意義，對其靈活地加以證明.
(2)複數三角形式的乘方和開方.有部分學生對運算法則知道，但對其靈活地運用有一定的困難，特別是開方運算，應對此認真地加以訓練.
(3)複數的輻角主值的求法.
(4)利用復數的幾何意義靈活地解決問題.複數可以用向量表示，同時複數的模和輻角都具有幾何意義，對他們的理解和應用有一定難度，應認真加以體會.
三．複數中的重點
(1)理解好複數的概念，弄清實數、虛數、純虛數的不同點.
(2)熟練掌握複數三種表示法，以及它們間的互化，並能準確地求出複數的模和輻角.複數有代數，向量和三角三種表示法.特別是代數形式和三角形式的互化，以及求複數的模和輻角在解決具體問題時經常用到，是乙個重點內容.
(3)複數的三種表示法的各種運算，在運算中重視共軛複數以及模的有關性質.複數的運算是複數的主要內容，掌握複數各種形式的運算，特別是複數運算的幾何意義更是重點內容.
（4）複數集中一元二次方程和二項方程的解法.
四．基礎知識
1．複數的定義：設i為方程x2=-1的根，i稱為虛數單位，由i與實數進行加、減、乘、除等運算。便產生形如a+bi（a,b∈r）的數，稱為複數。
所有複數構成的集合稱複數集。通常用c來表示。
(1) z=a+bi∈rb=0 (a,b∈r) z= z2≥0；
(2) z=a+bi是虛數b≠0(a,b∈r)；
(3) z=a+bi是純虛數a=0且b≠0(a,b∈r) z＋＝0（z≠0）z2<0；
(4) a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈r)；
2．複數的幾種形式。對任意複數z=a+bi（a,b∈r），a稱實部記作re(z),b稱虛部記作im(z). z=ai稱為代數形式，它由實部、虛部兩部分構成；若將(a,b)作為座標平面內點的座標，那麼z與座標平面唯一乙個點相對應，從而可以建立複數集與座標平面內所有的點構成的集合之間的一一對映。
因此複數可以用點來表示，表示複數的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的座標，複數z又對應唯一乙個向量。因此座標平面內的向量也是複數的一種表示形式，稱為向量形式
3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈r）,則a-bi稱為z的共軛複數。模與共軛的性質有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，則。
4．複數的運算法則：（1）按代數形式運算加、減、乘、除運算法則與實數範圍內一致，運算結果可以通過乘以共軛複數將分母分為實數；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；
複數的代數形式及其運算：設z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈r)，則：
(1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i；
(2) = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
(3) z1÷z2 = (z2≠0) ;
幾個重要的結論：
(1) (2)性質：t=4；；
(3)。；⑷
運算律：（1）
共軛的性質：⑴；⑵；⑶；⑷。
模的性質：⑴；⑵；⑶；⑷；
5.複數相等的充要條件：兩個複數實部和虛部分別對應相等。
6．複數z是實數的充要條件是z=;z是純虛數的充要條件是：z+=0（且z≠0）.
五．習題
1．已知a∈r，若(1－ai)(3＋2i)為虛數，則a的值為( )
a．－ b. c．－ d.
2．複數(i是虛數單位)的實部是( )
a. b．－ c. d．－
3．複數是實數的充要條件是（ ）
為實數為實數
4．若複數滿足，則等於（ ）
5．等於（ ）
6．，若，則（ ）
7．已知複數，，若，則（ ）
ａ．或8．表示（ ）
ａ．點與點之間的距離 ｂ．點與點之間的距離
ｃ．點與原點的距離 ｄ．點與點之間的距離
9．已知，，則的最大值和最小值分別是（ ）
ａ．和3和1 ｃ．和 ｄ．和3
10．設0<θ<，(a＋i)(1－i)＝cosθ＋i，則θ的值為( )
a. b. c. d.
11．若，則方程的解是（ ）
12．滿足條件的複數在復平面內對應的點的軌跡是 （ ）
ａ．雙曲線雙曲線的一支兩條射線一條射線
13．設，為銳角三角形的兩個內角，則複數對應的點位於復平面（ ）
ａ．第一象限第二象限第三象限第四象限
14．已知複數，那麼當a=_______時，z是實數；當a時，z是虛數；當a=______時，z是純虛數。
15．若，已知，，則 ．
16．複數的共軛複數在復平面上的對應點在第一象限內，則實數的取範圍是 ．
17．已知，則複數，對應點的軌跡是 ．
18．設，若對應的點在直線上，則的值是 ．
19.已知向量對應的複數是，向量對應的複數是，
則+對應的複數是
20．複數z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在復平面內對應的點分別為a，b，c若∠bac是鈍角，則實數c的取值範圍為________．
21．已知複數對應的點落在射線上，，求複數．
22．已知是複數，與均為實數，且複數在復平面上對應的點在第一象限，求實數的取值範圍．
複數知識點
1.複數的單位為i，它的平方等於 1，即.1 複數 形如a bi的數 其中 2 實數 當b 0時的複數a bi，即a 3 虛數 當時的複數a bi 4 純虛數 當a 0且時的複數a bi，即bi.5 複數a bi的實部與虛部 a叫做複數的實部，b叫做虛部 注意a，b都是實數 6 複數集c 全體複數的...
複數知識點
7 複數的模 若向量表示複數，則稱的模為複數的模，積或商的模可利用模的性質 1 2 共軛複數 若兩個複數的實部相等，而虛部是互為相反數時，這兩個複數叫互為共軛複數 特別地，虛部不為的兩個共軛複數也叫做共軛虛數 注 兩個共軛複數之差是純虛數.之差可能為零，此時兩個複數是相等的 共軛複數所對應的點或向量...
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