第4講基本不等式
a級基礎演練(時間：30分鐘滿分：55分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(2013·寧波模擬)若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，則ab的最大值為 ( )．
ab．1c．2d．4
解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.當且僅當a＝1，b＝時等號成立．
答案 a
2．函式y＝(x>1)的最小值是
a．2＋2b．2－2
c．2d．2
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
當且僅當x－1＝，即x＝＋1時取等號．
答案 a
3．(2012·陝西)小王從甲地到乙地的時速分別為a和b(aa．ac. 解析設甲、乙兩地之間的距離為s.
∵a又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.
答案 a
4．(2013·杭州模擬)設a>b>c>0，則2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是
( )．
a．2b．4c．2d．5
解析 2a2＋＋－10ac＋25c2
＝2a2＋－10ac＋25c2
＝2a2＋－10ac＋25c2
≥2a2＋－10ac＋25c2(b＝a－b時取「＝」)
＝2a2＋－10ac＋25c2＝＋(a－5c)2≥4
，故選b.
答案 b
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．(2011·浙江)設x，y為實數．若4x2＋y2＋xy＝1，則2x＋y的最大值是________．
解析依題意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋×2x×y≤1＋·2，得(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤.當且僅當2x＝y＝時，2x＋y取最大值.
答案 6．(2013·北京朝陽期末)某公司購買一批機器投入生產，據市場分析，每台機器生產的產品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉時間x(單位：年)的關係為y＝－x2＋18x－25(x∈n*)，則當每台機器運轉________年時，年平均利潤最大，最大值是________萬元．
解析每台機器運轉x年的年平均利潤為＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，當且僅當x＝5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元．
答案 5 8
三、解答題(共25分)
7．(12分)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，
求：(1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值．
解 ∵x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，
(1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64.
故xy的最小值為64.
(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋8＝18.
故x＋y的最小值為18.
8．(13分)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解 (1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，當且僅當2x＝5y時，等號成立．
因此有解得
此時xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴當x＝5，y＝2時，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝
≥＝，當且僅當＝時，等號成立．
由解得∴＋的最小值為.
b級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恆成立，則實數m的取值範圍是
a．(－∞，－2]∪[4b．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
c．(－2,4d．(－4,2)
解析 ∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2＝8，當且僅當＝，
即x＝4，y＝2時取等號，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恆成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恆成立，
即8>m2＋2m，解得－4答案 d
2．(2012·湖南)已知兩條直線l1：y＝m和l2：y＝(m>0)，l1與函式y＝|log2x|的圖象從左至右相交於點a，b，l2與函式y＝|log2x|的圖象從左至右相交於點c，d.
記線段ac和bd在x軸上的投影長度分別為a，b.當m變化時，的最小值為
a．16b．8c．8d．4
解析如圖，作出y＝|log2x|的圖象，由圖可知a，c點的橫座標在區間(0,1)內，b，d點的橫座標在區間(1，＋∞)內，而且xc－xa與xb－xd同號，所以＝，根據已知|log2xa|＝m，即－log2xa＝m，所以xa＝2－m.同理可得xc＝2－，xb＝2m，xd＝2，所以＝＝＝＝2＋m，由於＋m＝＋－≥4－＝，當且僅當＝，即2m＋1＝4，即m＝時等號成立，故的最小值為2＝8.
答案 b
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．若正數a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值範圍是________．
解析由a，b∈r＋，由基本不等式得a＋b≥2，
則ab＝a＋b＋3≥2＋3，
即ab－2－3≥0(－3)(＋1)≥0 ≥3，
∴ab≥9.
答案 [9，＋∞)
4．已知兩正數x，y滿足x＋y＝1，則z＝的最小值為________。
解析 z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，則0答案
三、解答題(共25分)
5．(12分)設f(x)＝(x>0)．
(1)求f(x)的最大值；
(2)證明：對任意實數a，b，恒有f(a)(1)解 f(x)＝＝≤＝2，
當且僅當x＝時，即x＝2時，等號成立．
所以f(x)的最大值為2.
(2)證明 b2－3b＋＝2＋3，
當b＝時，b2－3b＋有最小值3，
由(1)知，f(a)有最大值2，
∴對任意實數a，b，恒有f(a)6．(13分)桑基魚塘是某地一種獨具地方特色的農業生產形式，某研究單位打算開發乙個桑基魚塘專案，該專案準備購置一塊1 800平方公尺的矩形地塊，中間挖出三個矩形池塘養魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植桑樹，池塘周圍的基圍寬均為2公尺，如圖，設池塘所佔的總面積為s平方公尺．
(1)試用x表示s；
(2)當x取何值時，才能使得s最大？並求出s的最大值．
解 (1)由圖形知，3a＋6＝x，∴a＝.
則總面積s＝·a＋2a
＝a＝＝1 832－，
即s＝1 832－(x＞0)．
(2)由s＝1 832－，
得s≤1 832－2＝1 832－2×240＝1 352.
當且僅當＝，此時，x＝45.
即當x為45公尺時，s最大，且s最大值為1 352平方公尺.
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