第七篇不等關係與不等式
a級基礎演練
(時間：30分鐘滿分：55分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(2011·浙江)若a，b為實數，則「0」的
a．充分而不必要條件b．必要而不充分條件
c．充分必要條件d．既不充分也不必要條件
解析當00，則有a<；若b<0，則a<0，從而有b>.故「0」的充分條件．反之，取b＝1，a＝－2，則有a《或b>，但ab<0.故選a.
答案 a
2．(2013·保定模擬)已知a>b，則下列不等式成立的是
a．a2－b2≥0b．ac>bc
c．|a|>|bd．2a>2b
解析 a中，若a＝－1，b＝－2，則a2－b2≥0不成立；當c＝0時，b不成立；當0>a>b時，c不成立；由a>b知2a>2b成立，故選d.
答案 d
3．(2012·晉城模擬)已知下列四個條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出《成立的有
a．1個b．2個c．3個d．4個
解析運用倒數性質，由a>b，ab>0可得<，②、④正確．又正數大於負數，①正確，③錯誤，故選c.
答案 c
4．如果a，b，c滿足ca．ab>acb．c(b－a)>0
c．cb2解析由題意知c<0，a>0，則a一定正確；b一定正確；d一定正確；當b＝0時c不正確．
答案 c
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．若－<α<β<，則α－β的取值範圍是________．
解析由－<α<，－ <－β<，α<β得－π<α－β<0.
答案 (－π，0)
6．(2013·南昌一模)現給出三個不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2；③＋>＋.其中恆成立的不等式共有________個．
解析因為a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恆成立；對於②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恆成立；對於③，因為(＋)2－(＋)2＝2－2>0，且＋>0，＋>0，所以＋>＋，即③恆成立．
答案 2
三、解答題(共25分)
7．(12分)設00且a≠1，比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小．
解法一當a>1時，由0loga(1－x)<0，loga(1＋x)>0，
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)，
∵0<1－x2<1，∴loga(1－x2)<0，從而－loga(1－x2)>0，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
當0|loga(1＋x)|.
法二平方作差
|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2
＝[loga(1－x)]2－[loga(1＋x)]2＝loga(1－x2)·loga
＝loga(1－x2)·loga>0.
∴|loga(1－x)|2>|loga(1＋x)|2，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
法三作商比較
∵＝＝|log(1＋x)(1－x)|，
∵0故＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)
＝1＋log(1＋x)＝1＋log(1＋x).
由01及》1，
∴log(1＋x) >0，故》1，
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
8．(13分)已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值範圍．
解由題意，得解得
所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)．
因為－4≤f(1)≤－1，所以≤－f(1)≤，
因為－1≤f(2)≤5，所以－≤f(2)≤.
兩式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值範圍是[－1,20]．
b級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2011·上海)若a、b∈r，且ab＞0，則下列不等式中，恆成立的是 ( )．
a．a2＋b2＞2abb．a＋b≥2
cd.＋≥2
解析對a：當a＝b＝1時滿足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以a錯；對b、c：當a＝b＝－1時滿足ab＞0，但a＋b＜0，＋＜0，而2＞0，＞0，顯然b、c不對；對d：
當ab＞0時，由均值定理＋＝2＝2.
答案 d
2．(2013·漢中一模)若a、b均為不等於零的實數，給出下列兩個條件．條件甲：對於區間[－1,0]上的一切x值，ax＋b>0恆成立；條件乙：2b－a>0，則甲是乙的
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
解析當x∈[－1,0]時，恒有ax＋b>0成立，
∴當a>0時，ax＋b≥b－a>0，
當a<0時，ax＋b≥b>0，∴b－a>0，b>0，∴2b－a>0，
∴甲乙，乙推不出甲，例如：a＝b，b>0時，
則2b－a＝b>0，
但是，當x＝－1時，a·(－1)＋b＝－b＋b＝－b<0，
∴甲是乙的充分不必要條件．
答案 a
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．(2012·泉州一模)已知奇函式f(x)在區間(－∞，＋∞)上是單調減函式，α，β，γ∈r，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，則f(α)＋f(β)＋f(γ)與0的關係是________．
解析 ∵f(x)在r上是奇函式，∴f(－x)＝－f(x)，
∵α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，
∴α>－β，β>－γ，γ>－α，而f(x)在r上是單調減函式，
∴f(α)以上三式相加得：2[f(α)＋f(β)＋f(γ)]<0，
即f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.
答案 f(α)＋f(β)＋f(γ)<0
4．(2013·南京一模)給出下列四個命題：
①若a>b>0，則》；
②若a>b>0，則a－>b－；
③若a>b>0，則》；
④設a，b是互不相等的正數，則|a－b|＋≥2.
其中正確命題的序號是________(把你認為正確命題的序號都填上)．
解析 ①作差可得－＝，而a>b>0，則<0，此式錯誤．②a>b>0，則<，進而可得－>－，所以可得a－>b－正確．③－＝＝＝<0，錯誤．④當a－b<0時此式不成立，錯誤．
答案 ②
三、解答題(共25分)
5．(12分)(2011·安徽)(1)設x≥1，y≥1，證明
x＋y＋≤＋＋xy；
(2)設1＜a≤b≤c，證明
logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
證明 (1)由於x≥1，y≥1，所以
x＋y＋≤＋＋xyxy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
將上式中的右式減左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
從而所要證明的不等式成立．
(2)設logab＝x，logbc＝y，由對數的換底公式得
logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
於是，所要證明的不等式即為
x＋y＋≤＋＋xy
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要證明的不等式成立．
6．(13分)已知f(x)是定義在(－∞，4]上的減函式，是否存在實數m，使得f(m－sin x)≤
f對定義域內的一切實數x均成立？若存在，求出實數m的取值範圍；若不存在，請說明理由．
思維啟迪：不等式和函式的結合，往往要利用函式的單調性和函式的值域．
解假設實數m存在，依題意，可得即
因為sin x的最小值為－1，且－(sin x－)2的最大值為0，要滿足題意，必須有
解得m＝－或≤m≤3.
所以實數m的取值範圍是∪.
**提高不等式恆成立問題一般要利用函式的值域，m≤f(x)恆成立，只需m≤f(x)min.
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