第6講二次根式
【考點總匯】
一、二次根式的概念
二次根式：形如的式子。
微撥爐：
二、二次根式的性質
1.當時，。 23
45微撥爐：
三、二次根式的運算
1.最簡二次根式
最簡二次根式要同時具備下列兩個條件：
（1）被開方數中不含 。
（2）被開方數中不含的因數或因式。
2.二次根式的乘除
（123.二次根式的加減：先將二次根式化成 ，再將相同的二次根式合併。
微撥爐：
高頻考點1、二次根式有意義的條件
【範例】若在實數範圍內有意義，則的取值範圍是 。
得分要領：
1.若二次根式有意義，則需被開方數為非負數。
2.若二次根式出現在分母中，則需被開方數為正數。
3.若所得式子既含二次根式又含分母，則需被開方數為非負數，且分母不為0，要綜合考慮字母的取值，如有意思的條件為，而不是，且。
【考題回放】
1.若代數式在實數範圍內有意義，則的取值範圍是（ ）
abcd.
2.若在實數範圍內有意義，則的取值範圍是（ ）
a. b. c. d .
3.若，則 。
4.已知，為實數，且，則 。
高頻考點2、二次根式的性質及化簡
【範例】若，則的值是（ ）
a.－1 b.0 c.1d.2
得分要領：
1.中的可以取任何實數，而中的必須取非負數，只有當取非負數時，。
2.當時，；當時，，如。
3.都具有非負性。
【考題回放】
1.已知實數，滿足，則的值為（ ）
a.－2b.2 c.4 d.－4
2.下列各式與是同類二次根式的是（ ）
abcd.
3.計算的結果是（ ）
a.－3b.3c.－9d.9
4.下列二次根式中，不能與合併的是（ ）
abcd.
高頻考點3、二次根式的運算
【範例】計算
得分要領：
1.二次根式的運算順序與有理數的運算順序相同。
2.二次根式相乘時要有一定的靈活性。例如，計算時，如果不是最簡二次根式，也可以先把它們化成最簡二次根式，然後再相乘，這樣簡單一些。
3.二次根式的乘法運算和除法運算中，常結合積的算術平方根和商的算術平方根的性質將二次根式化成最簡二次根式。
【考題回放】
1.下列計算錯誤的是（ ）
ab.cd.
2.如果，，那麼下面各式：①，②，③，其中正確的是（ ）
abcd.①②③
3.已知，，則
4.先化簡，再求值：，其中。
5.先化簡，再求值：，其中。
【錯誤診斷】分析下面解題的錯誤並糾正在右邊
【例題】化簡：。
解：原式………………①
【規避策略】
當二次根式有係數且能化簡時，應先將二次根式化簡再與其前面的係數相乘。
【實戰演練】
1.下列計算正確的是（ ）
ab.cd.
2.若，則的值為（ ）
a.1 b.－1c.7d.－7
3.在函式中，自變數的取值範圍是（ ）
abcd.
4.下列計算正確的是（ ）
abcd.
5.若，則的取值範圍是 。
6.若在實數範圍內有意義，則的取值範圍是 。
7.當時，代數式有意義。
8.已知最簡二次根式與能合併，則 。
9.計算：－－4
10.計算
11.計算：。
12.計算：×+。
13.計算：－×+÷。
【限時小測】建議用時30分鐘。總分50分
一、選擇題（每小題3分，共12分）
1.下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
abcd.
2.要使式子有意義，則的取值範圍是（ ）
a. b. c.且 d.且
3.下列計算正確的是（ ）
ab.cd.
4.計算的結果是（ ）
a. b. c. d.
二、填空題（每小題3分，共12分）
5.已知：最簡二次根式與可以合併，則 。
6.化簡 。
7.已知，則 。
8.對於任意實數，定義一種運算＆如下：＆,如3＆2
。那麼三、解答題（共26分）
9.（6分）先化簡，再求值：，其中
10.（8分）觀察下列運算：
a.由，得；
b.由，得；
c.由，得；…
①通過觀察你得出什麼規律：用含的式子表示出來。
②利用①中你發現的規律計算：
…。【培優訓練】
11.（12分）小明在學習二次根式後，發現一些含根號的式子可以寫成另乙個含根號的式子的平方，如，善於思考的小明進行了如下探索設，（其中均為正整數），則有，∴，。
這樣，小明找到了把部分的式子化為平方式的方法。
請你仿照小明的方法探索並解決問題：
（1）當均為正整數時，若，用含的式子分別表示得
（2）利用所探索的結論，找一組正整數填空
（3）若用均為正整數，求的值。
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