g3.1071球
一. 知識回顧:
球：球的截面是乙個圓面.
①球的表面積公式：.
②球的體積公式：.
緯度、經度：
①緯度：地球上一點的緯度是指經過點的球半徑與赤道面所成的角的度數.
②經度：地球上兩點的經度差，是指分別經過這兩點的經線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數，特別地，當經過點的經線是本初子午線時，這個二面角的度數就是點的經度.
附：①圓柱體積：（為半徑，為高）
②圓錐體積：（為半徑，為高）
錐形體積：（為底面積，為高）
(3).內切球：當四面體為正四面體時，設邊長為a，，，
得.注：球內切於四面體：
外接球：球外置於正四面體，可如圖建立關係式.
二. 基礎訓練:
1、（2023年北京高考題）64個直徑都為的球，記它們的體積之和為，表面積之和為；乙個直徑為的球，記其體積為，表面積為，則（ c ）
（ab）
（cd）
2、乙個圓錐的底面直徑和高都同乙個球的直徑相等，那麼圓錐與球的體積之比是（ c ）
（abcd
3、（2023年全國高考題）球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等於大圓周長的，經過這三個點的小圓的周長為4，那麼這個球的半徑為（ b ）
（ab） （c）2d
4、長方體的過乙個頂點的三條稜長分別為3，4，5，且它的八個頂點都在同乙個球面上，則這個球的表面積為（ d ）
（ab） （cd）
5、在北緯圈上有甲、已兩地，甲地位於東徑，乙地位於西徑，則地球（半徑為r）表面上甲、乙兩地的最短距離為（ d ）
（abcd）
三.例題講解:
例1．已知三稜錐內接於球, 三條側稜兩兩垂直且長都為1, 求球的表面積與體積.
例2．在北緯圈上有甲、乙兩地，它們的緯度圓上的弧長等於(為地球半徑)，求甲，乙兩地間的球面距離。
例3．如圖,球心到截面的距離為半徑的一半，是截面圓的直徑,是圓周上一點，是球的直徑，
(1) 求證：平面平面；
(2) 如果球半徑是，分為兩部分, 且，求與所成的角；
(3) 如果，求二面角的大小。
例4.球面上三點組成這個球的乙個截面的內接三角形，，
且球心到該截面的距離為球的半徑的一半，
(1) 求球的體積； (2) 求兩點的球面距離。
例5、從北京（北緯400，東經1200）飛往南非首都約翰尼斯堡（南緯300，東徑300）有兩條航線供其選擇：甲航天線從北京沿緯度弧向西飛到希拉首都雅典（北緯400，東徑300），然後向南飛到目的地。乙航線：
從北京向南飛到澳大利亞的珀斯（南緯300，東徑1200），然後向西飛到目的地。間：哪一條航線較短？
四、作業同步練習g3.1071 球
1、（2023年北京高考題）64個直徑都為的球，記它們的體積之和為，表面積之和為；乙個直徑為的球，記其體積為，表面積為，則（ ）
（ab）
（cd）
2、（2023年全國高考題）球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等於大圓周長的，經過這三個點的小圓的周長為4，那麼這個球的半徑為（ ）
（ab） （c）2d）
3、球的面積膨脹為原來的兩倍，膨脹後的球的體積變為原來的（ ）倍。
（ab）2cd）4
4、兩球的表面積之差為，它們的大圓周長之和為，則這兩球的直徑之差為（ ）
（a）1b）2c）3d）4
5、自球面上一點p作球的兩兩垂直的三條弦pa、pb、pc，球的半徑為r，則
（a） （b）3rc）2r （d）
6、a、b為球面上相異的兩點，則通過a、b可作的大圓（ ）
（a）只有乙個 （b）乙個或無數個 （c）一定是無數個 （d）不存在
7、在地球北緯300圈上有a、b兩點，它們的經度差為1800，則a、b兩點沿緯度圈的弧與a、b兩點的球面距離分別為（r是地球的半徑
（a） （b） （c） （d）
8、球面上有三個點，其中任意兩點球面距離都等於大圓周長的，經過這3個點的小圓周長為，那麼這個球的半徑為
9、設地球半徑為r，在北緯300圈上有a、b兩地，它們的經度相差1200，那麼這兩地的緯度圈上的弧長等於
10、（05天津卷）如圖，在斜三稜柱中，
，側面與底面abc所成的二面角為，e、f分別是稜的中點
（ⅰ）求與底面abc所成的角
（ⅱ）證明∥平面
（ⅲ）求經過四點的球的體積。
11、如圖，ab是球o的直徑，c、d是球面上兩點，且點d在以bc為直徑的小圓上，設小圓所在的平面為。
（1）求證：平面abc ；
（2）設d為bc弧的中點，ad與平面所成角為，過球的半徑od且垂直於截面bc弦於點e，求⊿oed與過od的截面圓的面積之比。
12、已知三稜錐內接於球, 三條側稜兩兩垂直且長都為1, 求球的表面積與體積.
參***
cbcdaba 8、 9、
10、本小題主要考查稜柱、球、二面角、線面關係等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分12分.
（ⅰ）解：過a1作a1h⊥平面abc，垂足為h.
鏈結ah，並延長交bc於g，鏈結eg，於是
∠a1ah為a1a與底面abc所成的角.
∵∠a1ab=∠a1ac， ∴ag為∠bac的平分線.
又∵ab=ac， ∴ag⊥bc，且g為bc的中點
因此，由三垂線定理，a1a⊥bc.
∵a1a//b1b，且eg//b1b， eg⊥bc 於是
∠age為二面角a—bc—e的平面角，即
∠age=120°
由於四邊形a1age為平行四邊形，得∠a1ag=60°，
所以，a1a與底面abc所成的角為60°，
（ⅱ）證明：設eg與b1c的交點為p，則點p為eg的中點，鏈結pf.
在平行四邊形agea1中，因f為a1a的中點，故a1e//fp.
而fp平面b1fc，a1e//平面b1fc，所以a1e//平面b1fc.
（ⅲ）解：鏈結a1c，在△a1ac和△a1ab中，由於ac=ab，∠a1ac=∠a1ab，
a1a=a1a，則△a1ac≌△a1ab，故a1c=a1b，由已知得 a1a=a1b=a1c=a.
又∵a1h⊥平面abc， ∴h為△abc的外心.
設所求球的球心為o，則o∈a1h，且球心o與a1a中點的連線of⊥a1a.
在rt△a1fo中，
故所求球的半徑，球的體積 .
11、解：（1）取bc的中點o1，連oo1，因為o1是以bc為直徑的圓的圓心，則oo1⊥bc，d為圓周上的一點。
（2）因為⊿boc，⊿abc都是等腰三角形，取bc的中點m，連om，am，過o作oh⊥am，可證得oh⊥面abc即oh是o到截面abc的距離。（另：利用等體積法也可求得）
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