上杭四中2011屆高三理科數學階段質量檢查試題
(第一週末) （考試時間：120分鐘滿分150分）
擬題人：李志武審題人：黃林生傅翠英 2011.9.12
（考試範圍：湘教版選修4-2、4-4、4-5）
一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把正確的代號填在指定位置上.
1．將圖形繞原點逆時針旋轉的矩陣是（ ）
a． b． c． d．
2．點通過矩陣和的變換效果相當於另一變換是 （ ）
a． b． c． d．
3．設a、b、c是互不相等的正數，則下列不等式中不恆成立的是（ ）
ab．cd．4．圓的圓心座標是（ ）
a bc d
5．不等式的解集為（ ）
a． b． c． d．
6．座標平面上將乙個三角形分別作投影、伸壓、旋轉、反射、切變的線性變換，則得到的新圖形一定與原三角形全等的個數為（ ）
a、1b、2c、3d、4
7．已知曲線經過變換作用後變為新的曲線，則變換對應的矩陣
為( )
a. bcd.
8．直線被圓截得的弦長為（ ）
a． b． c． d．
9．下列說法中錯誤的是( )
a.反射變換,伸壓變換,切變都是初等變換 b.若m,n互為逆矩陣,則mn=e
c.任何矩陣都有逆矩陣d.反射變換矩陣都是自己的逆矩陣
10．若，則的最小值是（ ）
a． b． c． d．
二、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中橫線上．
11．（座標系與引數方程選做題）若直線（t為引數）與直線垂直，則常數
12．點是橢圓上的乙個動點，則的最大值為
13．函式的最大值為
14. 求矩陣的逆矩陣
15．5個人各拿乙隻水桶到水龍頭接水，如果水龍頭注滿這5個人的水桶需要的時間分別是4分鐘、8分鐘、6分鐘、10分鐘、5分鐘，統籌安排這5個人接水的順序，使他們等待的總時間最少為分鐘.
三、解答題：本大題共6個小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．(本小題滿分13分)解不等式．
17．(本小題滿分13分)
設a，b，c為正實數，且,求代數式：的最小值．
18．（本小題滿分13分）
已知均為正數，證明：，並確定為何值時，等號成立。
19．（本小題滿分13分）
已知矩陣a，求a．
（1）求矩陣的特徵值、和特徵向量、；
（2）求a．
20．（本小題滿分14分）
已知直線經過點,傾斜角，
（1）寫出直線的引數方程;
（2）設與圓相交與兩點，求點到兩點的距離之積.
21．（本小題滿分14分）
已知二階矩陣m有特徵值及對應的乙個特徵向量，並且矩陣m對應的變換將點變換成。
（1）求矩陣m；
（2）求矩陣m的另乙個特徵值，及對應的乙個特徵向量e2的座標之間的關係。
（3）求直線在矩陣m的作用下的直線的方程．
上杭四中2011屆高三理科數學階段質量檢查試題
(第一週末) （考試時間：120分鐘滿分150分）
擬題人：李志武審題人：黃林生傅翠英 2011.9.12
（考試範圍：湘教版選修4-2、4-4、4-5）
（答題卷）
一．選擇題答卷：每小題5分，共50分．
二、填空題答卷：本大題共5個小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中橫線上．
1112
1314
15三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答要求寫出文字說明、證明過程或推演步驟．
16. （本小題滿分13分
17．（本小題滿分13分
18．（本小題滿分13分）
19．（本小題滿分13分）
20．（本小題滿分14分）
21．（本小題滿分14分）
上杭四中2011屆高三理科數學階段質量檢查試題
(第一週末) （考試時間：120分鐘滿分150分）
擬題人：李志武審題人：黃林生傅翠英 2011.9.12
（考試範圍：湘教版選修4-2、4-4、4-5）
參***及評分意見
一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．
1. b
二、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中橫線上．
11． 12． 13． 14． 15．84
三、解答題：本大題共6個小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟..
16．(本小題滿分13分)
解：令（分段函式4分，圖象3分，共7分）
13分）
…………………12分
13分17．(本小題滿分13分)
解：由柯西不等式可知：由a，b，c為正實數可得：
6分∴……9分
當且僅當時，等號成立11分
∴得故當時，的最小值為3613分
18．（本小題滿分13分）
證明：因為a，b，c均為正數，由平均值不等式得
4分所以8分
故.又 ③
所以原不等式成立11分
當且僅當a=b=c時，①式和②式等號成立。當且僅當時，③式等號成立。
即當且僅當a=b=c=時，原式等號成立13分
19．（本小題滿分13分）
解：特徵矩陣為1分
特徵多項式為2分
令0，解得矩陣a的特徵值＝03分
將0代入特徵矩陣得，
以它為係數矩陣的二元一次方程組是
解之得，可以為任何非零實數，不妨取，於是，是矩陣a屬於
特徵值的乙個特徵向量5分
再將代入特徵矩陣得，
以它為係數矩陣的二元一次方程組是
解之得，可以為任何非零實數，不妨取，於是，是矩陣a的屬於特徵值的乙個特徵向量7分
於是， a＝，a＝．
顯然， a，a9分
設a＝，則有11分
解得 ．所以，a＝．……………13分
20．（本小題滿分14分）
解 （1）直線的引數方程為，即．………………6分
（2）由圓的引數方程可得圓的普通方程，
9分把直線代入，
得，，則點到兩點的距離之積為．……………………14分
21．（本小題滿分14分）
解：（1）設m=，則=8=，故
=，故聯立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故m5分
（2）由（1）知，矩陣m的特徵多項式為，故其另乙個特徵值為。設矩陣m的另乙個特徵向量是e2，則m e2=，解得。故與相對應的乙個特徵向量e210分
（3）設點是直線上的任一點，其在矩陣m的變換下對應的點的座標為，則
=，即，代入直線的方程後並化簡得,
即14分
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