湖南省衡南縣第一中學(421141) 全昌仲
開放題是數學教學中的一種新題型，它是相對於傳統的封閉題而言的。開放題的核心是培養學生的創造意識和創造能力，激發學生獨立思考和創新的意識，這是一種新的教育理念的具體體現。現行數學教材中，習題基本上是為了使學生了解和牢記數學結論而設計的，學生在學習中缺乏主動參與的過程。
那麼在教材還沒有提供足夠的開放題之前，好的開放題從那裡來？我認為最現實的辦法是讓「封閉」題「開放」。
一、開放意識的形成
學習的目的是為了使自然人過渡到社會人、使社會人更好地服務於社會，由於社會時刻在發生著變化，因此，乙個良好的社會人必需具備適應社會變化的能力。讓學生懂得用現成的方法解決現成的問題僅僅是學習的第一步，學習的更高境界是提出新問題、提出解決問題的新方案。因此首先必須改變那種只侷限於教師給題學生做題的被動的、封閉的意識，為了使數學適應時代的需要，我們選擇了數學開放題作為乙個切入口，開放題的引入，促進了數學教育的開放化和個性化，從發現問題和解決問題中培養學生的創新精神和實踐能力。
關於開放題目前尚無確切的定論，通常是改變命題結構，改變設問方式，增強問題的探索性以及解決問題過程中的多角度思考，對命題賦予新的解釋進而形成和發現新的問題。近兩年高考題中也出現了開放題的「影子」，如2023年第（19）題：「關於函式f(x)=4sin(2x+π/3)(x∈r)，有下列命題：
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整數倍；②y=f(x)的表示式可改寫為y=4cos(2x-π/6):③y=f(x)的圖象關於點（-π/6，0）對稱；④y=f(x)的圖象關於直線x=-π/6對稱。其中正確的命題是──（注：
把你認為正確的命題的序號都填上）」顯然《高中代數》上冊第184頁例4「作函式y=3sin(2x+π/3)的簡圖。」可作為其原型。學生如果明白這些道理就會產生對問題開放的需求，逐步形成自覺的開放意識。
又如2023年理19文20題函式單調性的引數取值範圍問題（既有條件開放又有結論的開放，條件上，對，是選擇，還是選擇？選擇前者則得，以後的道路荊棘叢生，而選擇後者則有，以後的道路一片光明；結論開放體現在結論分為兩段，一段上可使函式單調，另一段上不單調，且證明不單調的方法是尋找反例）；
從數學考試中引進一定的結合現實背景的問題和開放性問題，已引起了廣大數學教育工作者的極大關注，開放題的研究已成為數學教育的乙個熱點。
二、開放問題的構建
有了開放的意識，加上方法指導，開放才會成為可能。開放問題的構建主要從兩個方面進行，其一是問題本身的開放而獲得新問題，其二是問題解法的開放而獲得新思路。根據創造的三要素：
「結構、關係、順序」，我們可以為學生構建由「封閉」題「開放」的如下框圖模式：
〔例1〕已知,並且求證（《高中代數》下冊第12頁例7）
除教材介紹的方法外，根據目標的結構特徵，改變一下考察問題的角度，或同時對目標的結構作些調整、重新組合，可獲得如下思路：兩點（b,a）、(-m,-m)的連線的斜率大於兩點（b,a）、(0,0)的連線的斜率；b個單位溶液中有a個單位溶質，其濃度小於加入m個單位溶質後的濃度；在數軸上的原點和座標為1的點處，分別放置質量為m、a的質點時質點系的重心，位於分別放置質量為m、b的質點時質點系的重心的左側等。
〔例2〕用實際例子說明所表示的意義
給變數賦予不同的內涵，就可得出函式不同的解釋，我們從物理和經濟兩個角度出發給出例項。
表示時間（單位：s），y表示速度（單位：m/s），開始計時後質點以10/s的初速度作勻加速運動，加速度為2m/s2，5秒鐘後質點以20/s的速度作勻速運動，10秒鐘後質點以-2m/s2的加速度作勻減速運動，直到質點運動到20秒末停下。
2.季節性服飾在當季即將到來之時，**呈上公升趨勢，設某服飾開始時定價為10元，並且每週（7天）漲價2元，5週後開始保持20元的**平穩銷售，10週後當季即將過去，平均每週削價2元，直到20週末該服飾不再銷售。
函式概念的形成，一般是從具體的例項開始的，但在學習函式時，往往較少考慮實際意義，本題旨在通過學生根據自己的知識經驗給出函式的實際解釋，體會到數學概念的一般性和背景的多樣性。這是對問題理解上的開放。
〔例3〕由圓x2+y2=4上任意一點向x軸作垂線。求垂線夾在圓周和x軸間的線段中點的軌跡方程。（《高中平面解析幾何》複習參考題二第11題）（答案：x2/4+y2=1）
問題本身開放：先從問題中分解出一些主要「元件」，如：a、「圓x2+y2=4」；b、「x軸」；c、「線段中點」等。然後對這些「元件」作特殊化、一般化等處理便可獲得新問題。
對a而言，圓作為一種特殊的曲線，我們將其重新定位在「曲線」上，那麼曲線又可分解成大小、形狀和位置三要素，於是改變條件a（大小或形狀或位置）就可使問題向三個方向延伸。
如改變位置，將a寫成「(x-a)2+(y-b)2=4」，即可得所求的軌跡方程為(x-a)2+(2y-b)2=4；再將其特殊化（取a=0），並進行新的組合便有問題：圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4有怎樣的位置關係？試說明理由。
簡解：解方程組得 y=0 或y=2b/3
當y=0時，x2+b2=4，
（1）若b<-2或 b>2，圓與橢圓沒有公共點；
（2）若b=±2，圓與橢圓恰有乙個公共點；
（3）若 -2 當y=2b/3時,x2+b2/9=4，
（1）若b<-6或b>6，圓與橢圓沒有公共點；
（2）若b=±6，圓與橢圓恰有乙個公共點；
（3）若-6 綜上所述，圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4，當b<-6或b>6時沒有公共點；當b=±6時恰有乙個公共點；當-6 上面的解法是從「數」著手，也可以從「形」著手分析。
再進一步延伸，得：當b>6時，圓x2+(y-b)2=4上的點到橢圓x2+(2y-b)2=4上的點的最大距離是多少？這個問題的解決是對數形結合、等價轉化等思想的進一步強化。
對b而言，它是一條特殊的直線，通過對其位置的變更可產生許多有意義的問題；而c是一種特殊的線段分點，同樣可以使其推廣到一般，若對由此產生的結果繼續研究就會發現以往的一些會考、高考試題。
三．開放問題的探索
開放的行為給上面三個簡單的問題注入了新的活力，推陳出「新」、自己給自己出題是人自我意識的回歸。開放的過程說白了就是探索的過程。以下以拋物線的焦點弦問題為例來看開放問題的探索。
〔例4〕已知拋物線，過焦點f的直線與拋物線相交於a（x1，y1），b（x1，y）兩點，p（x0，y0）是線段ab的中點；拋物線的準線為l，分別過點a、b、p作x軸的平行線，依次交l於m、n、q，連線fm、fn、fq、aq和bq（如圖）
（1） 試盡可能地找出：
（a） 點a、b、p的縱、橫6個座標所滿足的等量關係；
（b） 圖中各線段的垂直關係.
（2） 如果允許引輔助線，你還能發現哪些結論？
〔分析與解〕（1）（a）點a、b、p的6個座標x1，y1；x2，y2；x0，y0之間至少有下列等量關係：
①②③④
⑤⑥ 「所有的畫都是以只有3種原色的方式構成的。每當我們把某樣東西說成是新的的時候，我們真正談論的是現有元素獨特的存在方式。」具備對「封閉」題「開放」的意識的學生，事實上就有了創造意識，這種意識驅動下的實踐自然會使創造力得以發展；同時，隨著高考命題改革的進一步深入，我想這樣的「開放」會在高考中更顯示其生命力。
小學數學開放題設計
新課程背景下，課堂上注重對學生思維過程的培養，鼓勵學生多發現 多動手 多實踐 多創造。如何設計能引領學生由感性到理性 由單一到多維 由課內到課外 走向生活的數學開放題，對達到數學課堂教學目標顯得尤為重要。那麼如何設計開放題呢？一 策略性開放題的設計 針對一道給出條件和結論的數學題，我們指導學生 由條...
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三 闡明解題技巧，注重發展思維能力 由於應用題敘述的生活化語言與數學語言的差別，加上冗長 抽象的特點，學生對理解題意往往產生困難。對此，可採用 縮寫 改寫 的方法幫助理解。縮寫 即是把與解題有關的已知量與未知量從題中分化出來，去粗取精 去偽存真 重新構建，使句式簡單，數量關係趨於明朗 改寫 即把應用...
第4講數學開放題
專題簡析 數學開放題是相對於傳統的封閉題而言的一種題型。由於客觀世界複雜多變，數學問題也必然複雜多變，往往不可能得到唯一答案。一般而言，數學開放題具有以下三個特徵 1 條件不足或多餘 2 沒有確定的結論或結論不唯一 3 解題的策略 思路多種多樣。解答數學開放題，需要我們從不同角度分析和思考問題，緊密...