學法指導新題型
（閱讀理解、變式**、開放**）
1、（2023年濟寧市）閱讀下面的材料：
在平面幾何中，我們學過兩條直線平行的定義.下面就兩個一次函式的圖象所確定的兩條直線，給出它們平行的定義：設一次函式的圖象為直線，一次函式的圖象為直線，若，且，我們就稱直線與直線互相平行.
解答下面的問題：
（1）求過點且與已知直線平行的直線的函式表示式,並畫出直線的圖象；
（2）設直線分別與軸、軸交於點、，如果直線：與直線平行且交軸於點，求出△的面積關於的函式表示式.
2、（2023年北京市）閱讀下列材料：
小明遇到乙個問題：5個同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割後拼接成乙個新的正方形.他的做法是：
按圖2所示的方法分割後，將三角形紙片①繞ab的中點o旋轉至三角形紙片②處，依此方法繼續操作，即可拼接成乙個新的正方形defg.請你參考小明的做法解決下列問題：
（1）現有5個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所示.請將其分割後拼接成乙個平行四邊形.要求：在圖3中畫出並指明拼接成的平行四邊形（畫出乙個符合條件的平行四邊形即可）；
（2）如圖4，在面積為2的平行四邊形abcd中，點e、f、g、h分別是邊ab、bc、cd、da的中點，分別鏈結af、bg、ch、de得到乙個新的平行四邊形mnpq請在圖4中**平行四邊形mnpq面積的大小（畫圖並直接寫出結果）.
4、(2023年四川省內江市)閱讀材料：如圖，△abc中，ab=ac，p為底邊bc上任意一點，點p到兩腰的距離分別為，腰上的高為h，鏈結ap，則
即： （定值）
（1）理解與應用
如圖，在邊長為3的正方形abc中，點e為對角線bd上的一點，且be=bc，f為ce上一點，fm⊥bc於m，fn⊥bd於n，
試利用上述結論求出fm+fn的長。
（2）模擬與推理
如果把「等腰三角形」改成「等到邊三角形」，
那麼p的位置可以由「在底邊上任一點」
放寬為「在三角形內任一點」，即：
已知等邊△abc內任意一點p到各邊的距離分別為，等邊△abc的高為h，試證明：（定值）。
（3）拓展與延伸
若正n邊形a1a2…an內部任意一點p到各邊的距離為，請問是否為定值，如果是，請合理猜測出這個定值。
6、（2009青海）請閱讀，完成證明和填空．
九年級數學興趣小組在學校的「數學長廊」中興奮地展示了他們小組**發現的結果，內容如下：
（1）如圖12-1，正三角形中，在邊上分別取點，使，連線，發現，且．請證明：．
（2）如圖12-2，正方形中，在邊上分別取點，使，連線，那麼 ，且度．
（3）如圖12-3，正五邊形中，在邊上分別取點，使，連線，那麼 ，且度．
（4）在正邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，也會有類似的結論．請大膽猜測，用一句話概括你的發現
7、(2023年咸寧市)問題背景：
在中，、、三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．
小輝同學在解答這道題時，先建立乙個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點（即三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖所示．這樣不需求的高，而借用網格就能計算出它的面積．
（1）請你將的面積直接填寫在橫線上
思維拓展：
（2）我們把上述求面積的方法叫做構圖法．若三邊的長分別為、、（），請利用圖的正方形網格（每個小正方形的邊長為）畫出相應的，並求出它的面積．
探索創新：
（3）若三邊的長分別為、、（，且），試運用構圖法求出這三角形的面積．
8、(2023年湖州)
若p為所在平面上一點，且，則點叫做的費馬點.
（1）若點為銳角的費馬點，且，則的值為________；
（2）如圖，在銳角外側作等邊′鏈結′.
求證：′過的費馬點，且′=.
9、(2023年上海市)已知線段與相交於點，聯結，為的中點，為的中點，聯結（如圖所示）．
（1）新增條件∠a=∠d，，求證：ab=dc．
（2）分別將「」記為①，「」記為②，「」記為③，新增條件①、③，以②為結論構成命題1，新增條件②、③，以①為結論構成命題2．命題1是命題，命題2是命題（選擇「真」或「假」填入空格）．
10、（2009臨沂）
數學課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形abcd是正方形，點e是邊bc的中點．，且ef交正方形外角的平行線cf於點f，求證：ae=ef．
經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取ab的中點m，連線me，則am=ec，易證，所以．
在此基礎上，同學們作了進一步的研究：
（1）小穎提出：如圖2，如果把「點e是邊bc的中點」改為「點e是邊bc上（除b，c外）的任意一點」，其它條件不變，那麼結論「ae=ef」仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；
（2）小華提出：如圖3，點e是bc的延長線上（除c點外）的任意一點，其他條件不變，結論「ae=ef」仍然成立．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．
11、（2023年吉林省）如圖，，請你寫出圖中三對全等三角形，並選取其中一對加以證明．
12、（2023年莆田）已知：如圖在中，過對角線的中點作直線分別交的延長線、的延長線於點
（1）觀察圖形並找出一對全等三角形**以證明；
（2）在（1）中你所找出的一對全等三角形，其中乙個三角形可由另乙個三角形經過怎樣的變換得到？
13、(2023年寧德市)如圖（1），已知正方形abcd在直線mn的上方，bc在直線mn上，e是bc上一點，以ae為邊在直線mn的上方作正方形aefg．
（1）連線gd，求證：△adg≌△abe；
（2）連線fc，觀察並猜測∠fcn的度數，並說明理由；
（3）如圖（2），將圖（1）中正方形abcd改為矩形abcd，ab=a，bc=b（a、b為常數），e是線段bc上一動點（不含端點b、c），以ae為邊在直線mn的上方作矩形aefg，使頂點g恰好落在射線cd上．判斷當點e由b向c運動時，∠fcn的大小是否總保持不變，若∠fcn的大小不變，請用含a、b的代數式表示tan∠fcn的值；若∠fcn的大小發生改變，請舉例說明．
14、（2023年莆田）
已知：等邊的邊長為．
**（1）：如圖１，過等邊的頂點依次作的垂線圍成求證：是等邊三角形且；
**（2）：
在等邊內取一點，過點分別作垂足分別為點
1 如圖2，若點是的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質得到兩個正確結論（不必證明）：
結論1．；
結論2．；
②如圖3，若點是等邊內任意一點，則上述結論是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．
15、（2009威海）如圖1，在正方形中，分別為邊上的點，，連線交點為．
（1）如圖2，連線，試判斷四邊形的形狀，並證明你的結論；
（2）將正方形沿線段剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成乙個四邊形．若正方形的邊長為3cm，，則圖3中陰影部分的面積為
16、（2023年廣西南寧）如圖13-1，在邊長為5的正方形中，點、分別是、邊上的點，且，.
（1）求∶的值；
（2）延長交正方形外角平分線（如圖13-2），試判斷的大小關係，並說明理由；
（3）在圖13-2的邊上是否存在一點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．
17、（2023年鐵嶺市）是等邊三角形，點是射線上的乙個動點（點不與點重合），是以為邊的等邊三角形，過點作的平行線，分別交射線於點，連線．
（1）如圖（a）所示，當點**段上時．
①求證：；
②**四邊形是怎樣特殊的四邊形？並說明理由；
（2）如圖（b）所示，當點在的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結論是否成立？
（3）在（2）的情況下，當點運動到什麼位置時，四邊形是菱形？並說明理由．
18、 (2023年衢州）如圖，ad是⊙o的直徑．
(1) 如圖①，垂直於ad的兩條弦b1c1，b2c2把圓周4等分，則∠b1的度數是 ，∠b2的度數是 ；
(2)如圖②，垂直於ad的三條弦b1c1，b2c2，b3c3把圓周6等分，分別求∠b1，∠b2，
∠b3的度數；
(3) 如圖③，垂直於ad的n條弦b1c1，b2c2，b3 c3，…，bncn把圓周2n等分，請你用含n的代數式表示∠bn的度數(只需直接寫出答案)．
19、（2009仙桃）如圖所示，在△abc中，d、e分別是ab、ac上的點，de∥bc，如圖①，然後將△ade繞a點順時針旋轉一定角度，得到圖②，然後將bd、ce分別延長至m、n，使dm＝bd，en＝ce，得到圖③，請解答下列問題：
(1)若ab＝ac，請**下列數量關係：
①在圖②中，bd與ce的數量關係是
②在圖③中，猜想am與an的數量關係、
∠man與∠bac的數量關係，並證明你的猜想；
(2)若ab＝k·ac(k＞1)，按上述操作方法，得到圖④，請繼續**：am與an的數量關係、∠man與∠bac的數量關係，直接寫出你的猜想，不必證明．
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