一、合情推理
1．人教a版選修2-2第79頁例1：已知數列的第1項，且，試歸納出這個數列的通項公式．
變式1：已知數列的第1項，且，試歸納出這個數列的通項公式．
解：，，…，一般地有；
本題也可以直接求出通項公式．
由得，，即，
所以數列是首項為，公差為2的等差數列，則，
而，則．
理科學生還可以先歸納，提出猜想，然後用數學歸納法證明．
變式2：已知數列的第1項，且，試歸納出這個數列的通項公式．
解：，，…，一般地有；
本題也可以直接求出通項公式．
由得，，即，
所以數列是首項為，公差為的等差數列，則，
而，則．
由變式（1）、變式（2）你能總結出什麼規律？
對滿足型的數列，當時採取取倒數的方法即可得出數列是等差數列，再根據等差數列的通項公式即可求出數列的通項．
變式3：（2023年高考湖南卷）已知數列的第1項，且，則
a．0bcd．
解法1：由於，，則，，，由此歸納出數列是以3為週期的數列，則，選b．
解法2：，令，則，
則，即，，
而，則，；
變式4：（2023年廣州市高考二模）已知數列滿足，（），則的值為的值為
【思路1】分別求出、、、，可以發現，且，故．
【思路2】由，聯想到兩角和的正切公式，設，則有，，，，……．
則，故．
從以上變式3到變式5，你能受到什麼啟發呢？結構與兩角和或差正切公式相似，這樣的數列一定是週期數列．
2．人教a版選修2-2第83頁例3：模擬平面內直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想．
變式1：直角三角形與直角四面體的性質模擬
以上結論的證明如下：
（1）由題設sa，sb，sc兩兩垂直，則三角形sbc為直角三角形，則斜邊bc邊上的高sd在三角形sbc內，即點d在bc上，
鏈結ad，則bc⊥平面sad，則平面abc⊥平面asd，過點s在面sad內作soad於o，則so⊥平面abc，即點s在平面abc的射影為o；
由於三角形sad為直角三角形，則斜邊ad上的高的垂足o**段ad上，即o在三角形abc內．
（2）由於，，
∵sad為直角三角形，則斜邊，故；
同理可證：，．
（3），而在直角三角形asd中，，
∴，因此．，同理可證，．
（4）在直角三角形sad中，由於soad於o，則，
在直角三角形sbc中，由於sdbc於d，則，
因此．變式2：平面內的一般三角形與空間中的四面體性質模擬
以上性質，限於篇幅，不再一一證明．
變式3：平面內三角形與空間中的三稜柱性質模擬
以上性質證明的關鍵是構造直截面（與側稜垂直的截面），轉化為平面問題，以正弦定理的拓廣為例，其餘的類似證明．
（6）如圖4，在三稜柱abc—a1b1c1中，二面角b—aa1—c、
c—bb1—a、b—cc1—a所成的二面角分別為、、，
則；證明：作平面def與三稜柱abc-a1b1c1側稜垂直，分別交側稜aa1，bb1 ，cc1於點d，e，f，則=，，，
在def中，根據正弦定理得，即
而，且，因此．
二、直接證明與間接證明
1．人教a版選修2-2第96頁例1 在δabc中，三個內角a，b，c對應的邊分別為，且a，b，c成等差數列，成等比數列，求證δabc為等邊三角形．
變式1：在δabc中，三個內角a，b，c對應的邊分別為，且a，b，c成等差數列，也成等差數列，求證δabc為等邊三角形．
證明：由a，b，c成等差數列知，，由餘弦定理知，
又也成等差數列，∴，代入上式得，
整理得，∴，從而，而，則，
從而δabc為等邊三角形．
變式2：在δabc中，三個內角a，b，c對應的邊分別為，且成等比數列，成等差數列，求證δabc為等邊三角形．
證明：由於成等比數列，則，即∴（1）
又成等差數列，則
則，由於，∴，即 （2）
將（2）式代入（1）式得：，
∴或（捨去），而，∴ （3）
將（3）代入（1）得：，由於，∴，
因此，從而δabc為等邊三角形．
變式3：在δabc中，三個內角a，b，c對應的邊分別為，且成等比數列，成等比數列，求證δabc為等邊三角形．
證明：由於成等比數列，則，即 ∴ （1）
又成等比數列，則，∴，
即 （2）
將（2）代入（1）得：，∴或（捨去）
而，∴ （3）將（3）代入（1）得：，
由於，∴，因此，從而δabc為等邊三角形．
變式4：在δabc中，三個內角a，b，c對應的邊分別為，且成等差數列，成等差數列，求證δabc為等邊三角形．
證明：由於成等差數列，則=
∴ （1）
又成等差數列，則，∴，
由於，∴ （2）
將（1）代入（2）得，∴，而，∴ （3）將（3）代入（2）得：，由於，∴，
因此，從而δabc為等邊三角形．
變式5： 在δabc中，三個內角a，b，c對應的邊分別為，且成等差數列，成等比數列，求證δabc為等邊三角形．
證明：由於成等差數列，則=
∴，則 （1）
又成等比數列，則，∴，
即 （2）
將(1)代入(2)整理得:
即，分解因式得
，∴或（捨去）或（捨去）
而，∴ （3）將（3）代入（2）得：，
由於，∴，因此，從而δabc為等邊三角形．
2．人教a版選修2-2第101頁例5：求證是無理數
變式1：求證是無理數
證明：假設是無理數，則存在互質的數，使得，從而，即，
所以為3的倍數，於是可設，因此，，即，所以也為3的倍數，這與互質矛盾，由此可知假設是錯誤的，從而是無理數．
變式2：若為奇數，則是無理數．
證明：假設是有理數，則存在互質的數，使得，則
，∴，∴，∴為偶數，
由於為偶數，說明，與同為偶數或同為奇數，由於它們的積為偶數，則與同為偶數，設， ，從而有
即，∴為偶數，∴為偶數，則也為偶數，這與互質矛盾，由此可知假設是錯誤的，從而是無理數．
三、數學歸納法
人教a版選修2-2第106頁例1：用數學歸納法證明．
變式1：是否存在常數，使得對一切正整數都成立？並證明你的結論．
解：假設存在常數使等式成立，令得：解之得，下面用數學歸納法證明：對一切正整數都成立．（略）
變式2：已知，是否存在的整式，使得等式對於大於1的一切正整數都成立？並證明你的結論．
解：假設存在，
令，求得，令，求得，令，求得，
由此猜想：，下面用數學歸納法證明：對一切大於1的正整數都成立．（略）
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