2012高考真題分類彙編
數學（理）—推理與證明
1.【2012高考真題江西理6】觀察下列各式： 則
a．28 b．76 c．123 d．199
【答案】c
【命題立意】本題考查合情推理中的歸納推理以及遞推數列的通項公式。
【解析】等式右面的數構成乙個數列1,3,4,7,11，數列的前兩項相加後面的項，即，所以可推出，選c.
2.【2012高考真題全國卷理12】正方形abcd的邊長為1，點e在邊ab上，點f在邊bc上，ae＝bf＝.動點p從e出發沿直線喜愛那個f運動，每當碰到正方形的方向的邊時**，**時反射等於入射角，當點p第一次碰到e時，p與正方形的邊碰撞的次數為
（a）16（b）14（c）12(d)10
【答案】b
【解析】結合已知中的點e,f的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那麼利用平行關係，作圖，可以得到回到ea點時，需要碰撞14次即可.
3.【2012高考真題湖北理10】我國古代數學名著《九章算術》中「開立圓術」曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.
「開立圓術」相當於給出了已知球的體積，求其直徑的乙個近似公式. 人們還用過一些類似的近似公式. 根據判斷，下列近似公式中最精確的乙個是
11b． c． d．
【答案】d
【解析】
4.【2012高考真題陝西理11】 觀察下列不等式，……
照此規律，第五個不等式為
【答案】.
【解析】通過觀察易知第五個不等式為.
5.【2012高考真題湖南理16】設n=2n（n∈n*，n≥2），將n個數x1,x2,…，xn依次放入編號為1,2，…，n的n個位置，得到排列p0=x1x2…xn.將該排列中分別位於奇數與偶數字置的數取出，並按原順序依次放入對應的前和後個位置，得到排列p1=x1x3…xn-1x2x4…xn，將此操作稱為c變換，將p1分成兩段，每段個數，並對每段作c變換，得到；當2≤i≤n-2時，將pi分成2i段，每段個數，並對每段c變換，得到pi+1，例如，當n=8時，p2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位於p2中的第4個位置.
（1）當n=16時，x7位於p2中的第___個位置；
（2）當n=2n（n≥8）時，x173位於p4中的第___個位置.
【答案】（1）6；（2）
【解析】（1）當n=16時,
,可設為,
,即為,
,即, x7位於p2中的第6個位置,；
（2）方法同（1）,歸納推理知x173位於p4中的第個位置.
【點評】本題考查在新環境下的創新意識，考查運算能力，考查創造性解決問題的能力.
需要在學習中培養自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.
6.【2012高考真題湖北理13】回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數．如22，121，3443，94249等．顯然2位回文數有9個：11，22，33，…，99．3位回文數有90個：
101，111，121，…，191，202，…，999．則
（ⅰ）4位回文數有個；
（ⅱ）位回文數有個．
【答案】90，
【解析】（ⅰ）4位回文數隻用排列前面兩位數字，後面數字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（1~9）種情況，第二位有10（0~9）種情況，所以4位回文數有種。
答案：90
（ⅱ）法
一、由上面多組資料研究發現，2n+1位回文數和2n+2位回文數的個數相同，所以可以算出2n+2位回文數的個數。2n+2位回文數隻用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，後面n項每項有10種情況，所以個數為.
法二、可以看出2位數有9個回文數，3位數90個回文數。計算四位數的回文數是可以看出在2位數的中間新增成對的「00,11,22,……99」，因此四位數的回文數有90個按此規律推導,而當奇數字時，可以看成在偶數字的最中間新增0~9這十個數，因此,則答案為.
7.【2012高考真題北京理20】（本小題共13分）
【答案】解：（1）由題意可知，，，，
∴（2）先用反證法證明：
若則，∴
同理可知，∴
由題目所有數和為即∴
與題目條件矛盾
∴．易知當時，存在
∴的最大值為1
（3）的最大值為.
首先構造滿足的：，.
經計算知，中每個元素的絕對值都小於1，所有元素之和為0，且，，
.下面證明是最大值. 若不然，則存在乙個數表，使得.
由的定義知的每一列兩個數之和的絕對值都不小於，而兩個絕對值不超過1的數的和，其絕對值不超過2，故的每一列兩個數之和的絕對值都在區間中. 由於，故的每一列兩個數符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小於.
設中有列的列和為正，有列的列和為負，由對稱性不妨設，則. 另外，由對稱性不妨設的第一行行和為正，第二行行和為負.
考慮的第一行，由前面結論知的第一行有不超過個正數和不少於個負數，每個正數的絕對值不超過1（即每個正數均不超過1），每個負數的絕對值不小於（即每個負數均不超過）. 因此
，故的第一行行和的絕對值小於，與假設矛盾. 因此的最大值為。
8.【2012高考真題湖北理】（本小題滿分14分）
（ⅰ）已知函式，其中為有理數，且. 求的
最小值；
（ⅱ）試用（ⅰ）的結果證明如下命題：
設，為正有理數. 若，則；
（ⅲ）請將（ⅱ）中的命題推廣到一般形式，並用數學歸納法證明你所推廣的命題.
注：當為正有理數時，有求導公式.
【答案】（ⅰ），令，解得.
當時，，所以在內是減函式；
當時，，所以在內是增函式.
故函式在處取得最小值
（ⅱ）由（ⅰ）知，當時，有，即 ①
若，中有乙個為0，則成立；
若，均不為0，又，可得，於是
在①中令，，可得，
即，亦即.
綜上，對，，為正有理數且，總有. ②
（ⅲ）（ⅱ）中命題的推廣形式為：
設為非負實數，為正有理數.
若，則用數學歸納法證明如下：
（1）當時，，有，③成立
（2）假設當時，③成立，即若為非負實數，為正有理數，
且，則當時，已知為非負實數，為正有理數，
且，此時，即，於是
=.因，由歸納假設可得
，從而.
又因，由②得
，從而.
故當時，③成立.
由（1）（2）可知，對一切正整數，所推廣的命題成立
說明：（ⅲ）中如果推廣形式中指出③式對成立，則後續證明中不需討論的情況.
9.【2012高考真題福建理17】（本小題滿分13分）
某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等於同乙個常數.
（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°
（4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248°
（5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255°
ⅰ 試從上述五個式子中選擇乙個，求出這個常數
ⅱ 根據（ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣位三角恒等式，並證明你的結論.
【答案】
2019高考真題分類彙編推理與證明
1.2012高考真題江西理6 觀察下列各式 則 a 28 b 76 c 123 d 199 答案 c 命題立意 本題考查合情推理中的歸納推理以及遞推數列的通項公式。解析 等式右面的數構成乙個數列1,3,4,7,11，數列的前兩項相加後面的項，即，所以可推出，選c.2.2012高考真題全國卷理12 正...
2019高考真題分類彙編推理與證明
1.2012高考真題江西理6 觀察下列各式 則 a 28 b 76 c 123 d 199 答案 c 命題立意 本題考查合情推理中的歸納推理以及遞推數列的通項公式。解析 等式右面的數構成乙個數列1,3,4,7,11，數列的前兩項相加後面的項，即，所以可推出，選c.2.2012高考真題全國卷理12 正...
2023年高考數學真題彙編15推理與證明文 解析版
2012高考試題分類彙編 15 推理和證明 1.2012高考全國文12 正方形的邊長為，點在邊上，點在邊上，動點從出發沿直線向運動，每當碰到正方形的邊時 時反射角等於入射角，當點第一次碰到時，與正方形的邊碰撞的次數為 abcd 答案 b 解析 結合已知中的點e,f的位置，進行作圖，推理可知，在反射的...