十三、推理與證明、創新題
1．（天津理4）對實數和，定義運算「」：設函式若函式的影象與軸恰有兩個公共點，則實數的取值範圍是
ab．cd．【答案】b
2．（山東理12）設，，，是平面直角座標系中兩兩不同的四點，若（λ∈r），（μ∈r），且,則稱，調和分割，,已知平面上的點c，d調和分割點a，b則下面說法正確的是
a．c可能是線段ab的中點
b．d可能是線段ab的中點
c．c，d可能同時**段ab上
d．c，d不可能同時**段ab的延長線上
【答案】d
3.（湖北理9）若實數a,b滿足且，則稱a與b互補，記，那麼是a與b互補的
a．必要而不充分的條件b．充分而不必要的條件
c．充要條件d．即不充分也不必要的條件
【答案】c
4.（福建理15）設v是全體平面向量構成的集合，若對映滿足：對任意向量a=（x1，y1）∈v，b=（x2，y2）∈v，以及任意∈r，均有
則稱對映f具有性質p。
現給出如下對映：
①②③其中，具有性質p的對映的序號為寫出所有具有性質p的對映的序號）
【答案】①③
5.（湖南理16）對於,將n 表示,當時，,當時, 為0或1．記為上述表示中ai為0的個數（例如：）,故, ）,則
（12【答案】2 1093
6.（北京理8）設,，,.記為平行四邊形abcd內部（不含邊界）的整點的個數，其中整點是指橫、縱座標都是整數的點，則函式的值域為
ab．cd．【答案】c
7.（江西理7）觀察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，則的末四位數字為
a．3125 b．5625 c．0625 d．8125
【答案】d
8.（廣東理8）設s是整數集z的非空子集，如果有，則稱s關於數的乘法是封閉的．若t,v是z的兩個不相交的非空子集，且有有，則下列結論恆成立的是
a．中至少有乙個關於乘法是封閉的
b．中至多有乙個關於乘法是封閉的
c．中有且只有乙個關於乘法是封閉的
d．中每乙個關於乘法都是封閉的
【答案】a
9.（江西理10）如右圖，乙個直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針
方向滾動，m和n是小圓的一條固定直徑的兩個端點．那麼，當小
圓這樣滾過大圓內壁的一周，點m，n在大圓內所繪出的圖形大
致是【答案】a
10.（安徽理15）在平面直角座標系中，如果與都是整數，就稱點為整點，
下列命題中正確的是寫出所有正確命題的編號）.
①存在這樣的直線，既不與座標軸平行又不經過任何整點
②如果與都是無理數，則直線不經過任何整點
③直線經過無窮多個整點，當且僅當經過兩個不同的整點
④直線經過無窮多個整點的充分必要條件是：與都是有理數
⑤存在恰經過乙個整點的直線
【答案】①，③，⑤
11.（四川理16）函式的定義域為a，若時總有
為單函式．例如，函式=2x+1（）是單函式．下列命題：
①函式=（xr）是單函式；
②若為單函式，
③若f：ab為單函式，則對於任意bb，它至多有乙個原象；
④函式f（x）在某區間上具有單調性，則f（x）一定是單函式．
其中的真命題是寫出所有真命題的編號）
答案：②③④
解析 ：①錯，，②③④正確
12.（山東理15）設函式,觀察:
根據以上事實，由歸納推理可得：
當且時【答案】
13.（陝西理13）觀察下列等式
1=12+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……照此規律，第個等式為
【答案】
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