蝴蝶定理的證明
定理：設m為圓內弦pq的中點，過m作弦ab和cd。設ad和bc各相交pq於點e和f，則m是ef的中點。
在蝴蝶定理的證明中有各種奇妙的輔助線，同時誕生了各種美妙的思想，蝴蝶定理在這些輔助線的幫助下，翩翩起舞！
證法1 如圖2，作，則垂足分別為的中點，且由於
得共圓；共圓。
則又，為的中點，從而，
則，於是。
證法2 過作關於直線的對稱點，如圖3所示，則
聯結交圓於，則與關於對稱，即
。又故四點共圓，即
而由、知，，故。
證法3 如圖4，設直線與交於點。對及截線，及截線分別應用梅涅勞斯定理，有
，由上述兩式相乘，並注意到
得化簡上式後得。[2]
2 不使用輔助線的證明方法
單純的利用三角函式也可以完成蝴蝶定理的證明。
證法 4 （steven給出）如圖5，並令
由，即化簡得
即 ，從而。
證法 5 令，以點為視點，對和分別應用張角定理，有
上述兩式相減，得
設分別為的中點，由，有
於是 ，而，知，故。
（二） 運用解析幾何的知識完成蝴蝶定理的證明
在數學中用函式的方法解決幾何問題也是非常重要的方法，所以解析幾何上夜出現了許多漂亮的證明蝴蝶定理的方法，以下列出幾個例子以供參考。
證法 6 （單墫教授給出）如圖6，建立直角座標系，則圓的方程可設為
。直線的方程為，直線的方程為。
由於圓和兩相交直線組成了二次曲線系，其方程為
令，知點和點的橫座標滿足二次方程，
由於的係數為，則兩根和之和為，即，故。[5]
證法 7 如圖7建立平面直角座標系，則圓的方程可寫為
直線、的方程可寫為,。
又設的座標為，則分別是二次方程
的一根。在軸上的截距為
。同理，在軸上的截距為。注意到是方程的兩根，是方程的兩根，所以，從而易得即。
證法 8 如圖8，以為極點，為極軸建立極座標系。因三點共線，令，則
即作於，作於。注意到
由與可得
將代入可得，即。
推論 1 過圓的弦 ab的中點m引任意兩條弦 cd與 ef, 鏈結 ce、 df並延長交 ab的延長線於 p、 q. 求證: pm = qm.
證明;設am =bm = a, pm = x,qm = y ;∠pm e = ∠qm f =α,∠pcm = ∠dfm =β ;
∠cm e = ∠dm f =γ,∠qdm = ∠cem =δ ;
記 △pm e, △qm f,△pmc, △qmd的面積分別為 s1 , s2 , s3 , s4.
則由恒等式s2·s3·s4·s1= 1知m p·m esin αmq·m fsinα · fq·fm sin (π - β)cp·cm sin β ··mcsin (α+γ)·md sin (α+γ)· dq·dm sin δep·em sindq·m p2·ep·mq2 = 1,即 qf·qd·m p2= pc·pe·mq2. ②
又由割線定理知pc·pe = pa·pb = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,qf·qd = qb·qa = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.
由於 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 pm = qm.[3]
（二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 顯然 om是 ab的垂線 (o是圓心) , 那麼, 我們可以猜想,如果在保持 om ⊥ab的前提下將圓 o的弦 ab移至圓外, 仍可能會有 pm =qm .
推論 2 已知直線 ab與 ⊙o相離. om ⊥ab, m 為垂足. 過 m作 ⊙o任意兩條割線 mc, m e分別交 ⊙o於 c, d和 e, f.
鏈結de,fc並延長分別交 ab 於 p, q. 求證: pm = qm.
證明：過 f作 fk∥ab, 交直線 om於 n,交 ⊙o於 k .
鏈結 m k交 ⊙o於 g. 鏈結 gq, gc. 由於 on ⊥fk,故有 fn = kn,從而m f =m k(因為m在 fk的垂直平分線上) .
又由割線定理知m e·m f = mg·m k .因此 m e = mg. ③
又由 ∠fmn = ∠kmn, om ⊥ab,知∠em p = ∠gmq. ④
從 ∠cqm = ∠cfk = ∠cgk知 ∠cgm +∠cqm= 180° , 從而 g,m, q, c四點共圓. 所以 ∠mgq =∠mcq.
又由於 ∠m ep = ∠def = ∠dcf = ∠mcq, 知∠m ep = ∠mgq. ⑤
由 ③、 ④、 ⑤知 △pm e ≌△qmg.所以 pm = qm.
（三）猜想 3 既然蝴蝶定理對於雙曲線是成立的, 而雙曲線是兩條不相交的曲線, 那麼, 我們可以猜想,如果把兩條不相交的曲線換成兩條不相交的直線 (也即是兩條平行線) , 仍可能會有 pm = qm .
推論 3 設點 a、 b分別在兩條平行線 l 1、 l 2上,過ab的中點m任意作兩條直線 cd和 ef分別交 l 1、 l 2於c、 d和 e、 f, 鏈結 ed、 cf交 ab於 p、 q. 求證: pm =qm.
證明：由於 l 1 ∥ l 2 ,m 平分ab, 從而利用 △mac≌△mbd知m平分 cd, 利用 △mae≌△mbf知 m平分 ef.
在四邊形 cedf中, 由對角線相互平分知 cedf是平行四邊形,從而 de ∥cf. 又由於 m平分 ef,故利用 △m ep ≌△m fq知 pm = qm。[4]
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