二、二次函式
1．（人教a版第27頁a組第6題）解析式、待定係數法
若，且，，求的值．
變式1：若二次函式的影象的頂點座標為，與y軸的交點座標為(0,11)，則
abcd．
變式2：若的影象x=1對稱，則c=_______．
變式3：若二次函式的影象與x軸有兩個不同的交點、，且，試問該二次函式的影象由的影象向上平移幾個單位得到？
2．（北師大版第52頁例2）影象特徵
將函式配方，確定其對稱軸，頂點座標，求出它的單調區間及最大值或最小值，並畫出它的影象．
變式1：已知二次函式，如果(其中)，則
abcd．
變式2：函式對任意的x均有，那麼、、的大小關係是
ab．cd．變式3：已知函式的影象如右圖所示，
請至少寫出三個與係數a、b、c有關的正確命題
3．（人教a版第43頁b組第1題）單調性
已知函式，．
(1)求，的單調區間；(2) 求，的最小值．
變式1：已知函式在區間內單調遞減，則a的取值範圍是
abcd．
變式2：已知函式在區間(,1)上為增函式，那麼的取值範圍是
變式3：已知函式在上是單調函式，求實數的取值範圍．
4．（人教a版第43頁b組第1題）最值
已知函式，．
(1)求，的單調區間；(2) 求，的最小值．
變式1：已知函式在區間[0,m]上有最大值3，最小值2，則m的取值範圍是
abcd．
變式2：若函式的最大值為m，最小值為m，則m + m的值等於________．
變式3：已知函式在區間[0,2]上的最小值為3，求a的值．
5．（人教a版第43頁a組第6題）奇偶性
已知函式是定義在r上的奇函式，當≥0時，．畫出函式的影象，並求出函式的解析式．
變式1：若函式是偶函式，則在區間上是
a．增函式 b．減函式 c．常數 d．可能是增函式，也可能是常數
變式2：若函式是偶函式，則點的座標是________．
變式3：設為實數，函式，．
()討論的奇偶性；()求的最小值．
6．（北師大版第64頁a組第9題）影象變換
已知．(1)畫出函式的圖象；(2)求函式的單調區間；(3)求函式的最大值和最小值．
變式1：指出函式的單調區間．
變式2：已知函式．
給下列命題：①必是偶函式；
② 當時，的影象必關於直線x=1對稱；
③ 若，則在區間[a，＋∞上是增函式；
④有最大值．
其中正確的序號是
變式3：設函式給出下列4個命題：
①當c=0時，是奇函式；
②當b=0，c>0時，方程只有乙個實根；
③的圖象關於點（0，c）對稱；
④方程至多有兩個實根．
上述命題中正確的序號為
7．（北師大版第54頁a組第6題）值域
求二次函式在下列定義域上的值域：
(1)定義域為；(2) 定義域為．
變式1：函式的值域是
a． b． c． d．
變式2：函式y=cos2x+sinx的值域是
變式3：已知二次函式 f (x) = a x 2 + bx（a、b 為常數，且 a ≠ 0），滿足條件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根．
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)是否存在實數 m、n（m < n），使 f (x) 的定義域和值域分別為 [m,n] 和 [3m,3n]，如果
存在，求出 m、n 的值，如果不存在，說明理由．
8．（北師大版第54頁b組第5題）恆成立問題
當具有什麼關係時，二次函式的函式值恆大於零？恆小於零？
變式1：已知函式 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．
(i)若函式 f (x) 的定義域為 r，求實數 a 的取值範圍；
(ii)若函式 f (x) 的值域為 r，求實數 a 的取值範圍．
變式2：已知函式，若時，有恆成立，求的取值範圍．
變式3：若f (x) = x 2 + bx + c，不論 、 為何實數，恒有 f (sin )≥0，f (2 + cos )≤0．
(i) 求證：b + c = －1；
(ii) 求證： c≥3；
(iii) 若函式 f (sin ) 的最大值為 8，求 b、c 的值．
9．（北師大版第54頁b組第1題）根與係數關係
右圖是二次函式的影象，它與x軸交於點和，試確定以及，的符號．
變式1：二次函式與一次函式在同乙個直角座標系的影象為
變式2：直線與拋物線
中至少有一條相交，則m的取值範圍是．
變式3：對於函式 f (x)，若存在 x0 r，使 f (x0) = x0 成立，則稱 x0 為 f (x) 的不動點．如果函式 f (x) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有兩個相異的不動點 x1、x2．
()若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的圖象關於直線 x = m 對稱，求證m >；
()若 | x1 | < 2 且 | x1－x2 | = 2，求 b 的取值範圍．
10．（北師大版第52頁例3）應用
綠緣商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料．根據以前的統計資料，若零售價定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若每瓶售價每降低0.05元，則可多銷售40瓶．在每月的進貨量當月銷售完的前提下，請你給該商店設計乙個方安：銷售價應定為多少元和從工廠購進多少瓶時，才可獲得最大的利潤？
變式1：在拋物線與x軸所圍成圖形的內接矩形(一邊在x軸上)中(如圖)，求周長最長的內接矩形兩邊之比，其中a是正實數．
變式2：某民營企業生產a，b兩種產品，根據市場調查與**，a產品的利潤與投資成正比，其關係如圖一；b產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關係如圖二（注：利潤和投資單位：萬元）
(i) 分別將a、b兩種產品的利潤表示為投資的函式關係式；
(ii) 該企業已籌集到10萬元資金，並全部投入a，b兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業獲得最大利潤？其最大利潤約為多少元（精確到1萬元）？
變式3：設a為實數，記函式的最大值為g(a) ．
（ⅰ）求g(a)；（ⅱ）試求滿足的所有實數a．
二次函式答案
1．（人教a版第27頁a組第6題）解析式、待定係數法
變式1： 解：由題意可知，解得，故選d．
變式2： 解：由題意可知，解得b=0，∴，解得c=2．
變式3：解：由題意可設所求二次函式的解析式為，
展開得，
∴，∴，即，解得．
所以，該二次函式的影象是由的影象向上平移單位得到的，它的解析式是，即．
2．（北師大版第52頁例2）影象特徵
變式1： 解：根據題意可知，∴ ，故選d．
變式2： 解：∵，∴拋物線的對稱軸是，
∴ 即，
∴，∴、、，
故有，選c．
變式3： 解：觀察函式影象可得：
1 a>0(開口方向)；② c=1(和y軸的交點)；
③(和x軸的交點)；④ ()；
⑤(判別式)；⑥ (對稱軸)．
3．（人教a版第43頁b組第1題）單調性
變式1： 解：函式影象是開口向上的拋物線，其對稱軸是，
由已知函式在區間內單調遞減可知區間應在直線的左側，
∴，解得，故選d．
變式2：解：函式在區間(,1)上為增函式，由於其影象(拋物線)開口向上，所以其對稱軸或與直線重合或位於直線的左側，即應有，解得，
∴ ，即．
變式3：解：函式的影象是開口向下的拋物線，經過座標原點，對稱軸是，
∵ 已知函式在上是單調函式，∴ 區間應在直線的左側或右側，
即有或，解得或．
4．（人教a版第43頁b組第1題）最值
變式1： 解：作出函式的影象，
開口向上，對稱軸上x=1，頂點是(1，2)，和y軸的交點是(0，3)，
∴m的取值範圍是，故選c．
變式2： 解：函式有意義，應有，解得，
∴ ，
∴ m=6，m=0，故m + m=6．
變式3： 解：函式的表示式可化為．
① 當，即時，有最小值，依題意應有，解得，這個值與相矛盾．
②當，即時，是最小值，依題意應有，解得，又∵，∴為所求．
③當，即時，是最小值，
依題意應有，解得，又∵，∴為所求．
綜上所述，或．
5．（人教a版第43頁a組第6題）奇偶性
變式1： 解：函式是偶函式 ，
當時，是常數；當時，，在區間上是增函式，故選d．
變式2：解：根據題意可知應有且，即且，∴點的座標是．
變式3： 解：（）當時，函式，此時，為偶函式；
當時，，，
，，此時既不是奇函式，也不是偶函式．
（）（）當時，，
若，則函式在上單調遞減，從而函式在上的最小值為．
若，則函式在上的最小值為，且．
（）當時，函式，
若，則函式在上的最小值為，且，
若，則函式在上單調遞增，從而函式在上的最小值為．
綜上，當時，函式的最小值為；
當時，函式的最小值為；
當時，函式的最小值為．
6．（北師大版第64頁a組第9題）影象變換
變式1： 解：函式可轉化為二次函式，作出函式影象，由影象可得單調區間．
當時，，
當時，．
作出函式影象，由影象可得單調區間．
在和上，函式是增函式；在和上，函式是減函式．
變式2： 解：若則，顯然不是偶函式，所以①是不正確的；
若則，滿足，但的影象不關於直線x=1對稱，所以②是不正確的；
若，則，影象是開口向上的拋物線，其對稱軸是，∴在區間[a，＋∞上是增函式，即③是正確的；
顯然函式沒有最大值，所以④是不正確的．
變式3： 解：，
(1)當c=0時，，滿足，是奇函式，所以①是正確的；
(2)當b=0，c>0時，，
方程即或，
顯然方程無解；方程的唯一解是，所以② 是正確的；
(3)設是函式影象上的任一點，應有，
而該點關於（0，c）對稱的點是，代入檢驗即，也即，所以也是函式影象上的點，所以③是正確的；
(4)若，則，顯然方程有三個根，所以④ 是不正確的．
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