大學數學實驗報告
最佳分數近似值
班級：09數(4)
姓名：賀明霞
學號：200971010406
指導教師：張貴倉
實驗時間：2023年4月12日
實驗一：對的最佳分數逼近
①試驗目的：本實驗是要研究怎樣用分數近似值去對給定的無理數做最佳逼近，「最佳」就是既要誤差小，又要分母小。例如，對於為例，尋找它的最佳近似值（達到祖沖之的密率為止）。
②實驗工具：mathematic4
③實驗的理論和方法：
是無理數，對於任何乙個無理數，不可能用分數來做它的準確值，只可做他的近似值。要提高精確度，減少誤差，乙個簡單辦法就是增大分母，但分母也不能無限增大，因此，我們要找到最佳的分數逼近，就是既要誤差小，又要分母小。
對於乙個分數的分母,並且誤差,那麼，就是比更佳的分數近似值。反過來，如果的誤差比起分母不超過的其他分數近似值都小，也就是對所有的以及成立，就稱給出了該無理數的最佳逼近。
④實驗題目1：取n=10000,讓分母q依次取遍1到n的整數值.對每乙個分母q,將q四捨五入得到乙個整數p作為分子，從而得到分母為q的最接近的分數近似值p/q.
⑤試驗過程及結果（由於結果太多，因此下只給出實驗結果的部分截圖）
實驗題目2：計算出的絕對值，試驗結果的部分截圖如下：
試驗題目3：並將它們的絕對值進行公升序排列。
試驗題目4：實數的連分數展開：
a. 以為例，先找它的分母為1的最佳近似值，也就是整數近似值，顯然是3，下面尋找比3誤差更小的分數近似值。
b. 已經有了3，則，其中是3 的誤差，,只要找到的最佳分數逼近，再加3就得到的最佳分數逼近。為了尋找與接近的分數，先尋找與接近的整數，顯然是7，於是===。
c. 為了尋找比誤差更小的分數近似值，只需尋找比整數7更接近的的分數來作為的近似值，由於，其中,先找的最佳整數近似值，顯然是16，於是
這就是祖沖之的密率。
試驗中的整數近似值16的誤差，取的整數近似值294，則代替分母16得的更好近似值,
這個過程可以無限的進行下去，得到的越來越精確的分數近似值。
於是可以得到對於乙個正實數a都可用同樣的方法進行展開：
計算得=3.1415926686923----
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