一、知識梳理
1.比例線段的有關概念
b、d叫後項，d叫第四比例項，如果b=c，那麼b叫做a、d的比例中項.
把線段ab分成兩條線段ac和bc，使ac2=ab·bc，叫做把線段ab**分割，c叫做線段ab的**分割點.
2.比例性質
3.平行線分線段成比例定理
①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，如圖：l1∥l2∥l3.
②推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例.
③定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那麼這條直線平行於三角形的第三邊.
4.相似三角形的判定
①兩角對應相等，兩個三角形相似
②兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似
③三邊對應成比例，兩三角形相似
④如果乙個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另乙個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似
⑤平行於三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似
⑥直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似
5.相似三角形的性質
①相似三角形的對應角相等
②相似三角形的對應邊成比例
③相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比
④相似三角形周長的比等於相似比
⑤相似三角形面積的比等於相似比的平方
6.圖形的位似.
二、經典例題講解
【例題1】．（1）在比例尺是1：8000000的《中國行政區》地圖上，量得a、b兩城市的距離是7.5厘公尺，那麼a、b兩城市的實際距離是千公尺.
（2）小芳的身高是1.6m，在某一時刻，她的影子長2m，此刻測得某建築物的影長是18公尺，則此建築物的高是_________公尺.
【例題2】．如圖，已知de∥bc，ef∥ab，則下列比例式錯誤的是
【例題3】．.如圖，在等邊△abc中，p為bc上一點，d為ac上一點，且∠apd=60°，
【例題4】如圖：四邊形abeg、gefh、hfcd都是邊長為a的正方形，
（1）求證：△aef∽△cea
（2）求證：∠afb+∠acb=45°
【例題5】．已知：如圖，△abc中，ad⊥bc於d，de⊥ab於e，df⊥ac於f
【例題6】．如圖，d為△abc中bc邊上的一點，∠cad=∠b，若ad=6，ab=8，bd=7，求dc的長.
【課堂訓練題】
1.若兩個相似三角形的面積之比為1:4，則它們的周長之比為（ ）
a. 1:2 b. 1:4 c. 1:5 d. 1:16
2.現給出下列四個命題：①無公共點的兩圓必外離；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面積等於兩條對角線的積；④對角線相等的四邊形是矩形.其中真命題的個數是 （ ）
a．1b．2c．3d．4
3.如圖，點f是□abcd的邊cd上一點，直線bf交ad的延長線於點e，則下列結論錯誤的是 （ ）
abcd. =
4.如圖所示．△abc中，ad是∠bac的平分線．
求證：ab∶ac=bd∶dc．
三、課後自我檢測
a類題1．下列圖形不一定相似的是（ ）
a．所有的矩形b．所有的等腰直角三角形
c．所有的等邊三角形d．所有邊數相等的正多邊形
、e分別是△abc邊 ab、ac上的一點，且△ade∽△abc，若ad=2，bd=4，則△ade與
△abc的相似比是（ ）
a．1∶2b．1∶3c．2∶3d．3∶2
3.如果兩個相似三角形對應邊的比是3：4，那麼它們的對應高的比是
a.9：16b.：2c.3：4d.3：7
4.在比例尺為1：m的某市地圖上，規劃出長a厘公尺，寬b厘公尺的矩形工業園區，該園區的實際面積是公尺2
abcd.
5.如圖，四邊形abcd中，∠bad=∠adc=90°，ab=ad=2，cd=，點p在四邊形abcd的邊上．若p到bd的距離為，則點p的個數為（ ）
a．1b．2c．3d．4
6.如圖，邊長為4的等邊△abc中，de為中位線，則四邊形bced的面積為（ ）
（abcd）
7.現給出下列四個命題：①無公共點的兩圓必外離；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面積等於兩條對角線的積；④對角線相等的四邊形是矩形.
其中真命題的個數是 （ ）
a．1b．2c．3d．4
8.已知，如圖，de∥bc，ef∥ab，則下列結論：
①②③④
其中正確的比例式的個數是
a.4個b.3個c.2個d.1個
9.已知，則
10.若三角形三邊之比為3：5：7，與它相似的三角形的最長邊是21cm，則其餘兩邊之和是cm
11.如圖，△abc中，d、e分別是ab、ac的中點，bc=6，則deade與△abc的面積之比為
12.已知線段a=4cm，b=9cm，則線段a、b的比例中項c為cm.
13.在△abc中，點d、e分別在邊ab、ac上，de∥bc，如果ad=8，db=6，ec=9，那麼ae
14．δabc的三邊長為, ,2,δdef的兩邊為1和,如果δabc∽δdef,則δdef的笫三邊長為
15.如圖，ad∥eg∥bc，ad=6，bc=9，ae：ab=2：3，求gf的長.
16.如圖，△abc中，d是ab上一點，且ab=3ad，∠b=75°，∠cdb=60°，
求證：△abc∽△cbd.
17.如圖，be為△abc的外接圓o的直徑，cd為△abc的高，
求證：ac·bc=be·cd
b類題18.如圖，△abc中，bc=2，de是它的中位線，下面三個結論：⑴de=1；⑵△ade∽△abc；⑶△ade的面積與△abc的面積之比為1:4.其中正確的有（ ）
a . 0 個 b.1個 c . 2 個 d.3個
19.如圖，四邊形abcd的對角線ac、bd相交於o，且將這個四邊形分成①、②、③、④四個三角形．若oa∶oc = ob∶od，則下
列結論中一定正確的是
a．①和②相似 b．①和③相似 c．①和④相似 d．②和④相似
20.如圖，p為線段ab上一點，ad與bc交於e，∠cpd＝∠a＝∠b，bc交pd於f，ad交pc於g，則圖中相似三角形有 （ ）
a．1對b．2對c．3對d．4對
21.如圖，已知△abc的面積是的等邊三角形，△abc∽△ade，ab=2ad，∠bad=45°，ac與de相交於點f，則△aef的面積等於結果保留根號）.
22.如圖，在△abc中，ab=24，ac=18，d是ac上一點，ad=12，在ab上取一點e，使a、d、e三點為頂點組成的三角形與△abc相似，則ae的長是
a.16b.14 c.16或14 d.16或9
23.如圖，在rt△abc中，∠bac=90°，d是bc的中點，ae⊥ad，交cb的延長線於點e，則下列結論正確的是
a.△aed∽△acbb.△aeb∽△acd
c.△bae∽△aced.△aec∽△dac
24.已知三個數1，2，，請你添上乙個數，使它能構成乙個比例式，則這個數是
25.如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，ef∥bc，若ad=12cm，bc=18cm，ae：eb=2：3，則ef
26.如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，∠a=90°，bd⊥cd，ad=6，bc=10，則梯形的面積為
c類題27.如圖8，△abc是一張銳角三角形的硬紙片，ad是邊bc上的高，bc=40cm,ad=30cm,從這張硬紙片上剪下乙個長hg是寬he的2倍的矩形efgh，使它的一邊ef在bc上，頂點g、h分別在ac，ab上，ad與hg的交點為m.
(1) 求證：
(2) 求這個矩形efgh的周長.
28.如圖，在6×8網格圖中，每個小正方形邊長均為1，點o和△abc的頂點均在小正方形的頂點.
（1）以o為位似中心，在網格圖中作△a′b′c′和△abc位似，且位似比為1︰2；
（2）連線（1）中的aa′,求四邊形aa′c′c的周長.（結果保留根號）
29．將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺成如圖的樣子，假設圖形中的所有點、線都在同一平面內，那麼圖形中有相似（不包括全等）三角形嗎？如果有，把它們都寫出來.
第4講動態規劃
我們先來看乙個簡單的多階段決策問題。現有一張地圖，各結點代表城市，兩結點間連線代表道路，線上數字表示城市間的距離。如圖1所示，試找出從結點1到結點10的最短路徑。第一階段第二階段第三階段第四階段第五階段 圖1本問題的解決可採用一般的窮舉法，即把從結點1至結點10的所有道路列舉出來，計算其長度，再進行...
第4講遺傳規律
遺傳規律的實質 例1.某植物紅花和白花這對相對性狀同時受多對等位基因控制 如a a b b c c 當個體的基因型中每對等位基因都至少含有乙個顯性基因時 即a b c 才開紅花，否則開白花。現有甲 乙 丙 丁4個純合白花品系，相互之間進行雜交，雜交組合 後代表現型及其比例如下 根據雜交結果回答問題 ...
第4講數學開放題
專題簡析 數學開放題是相對於傳統的封閉題而言的一種題型。由於客觀世界複雜多變，數學問題也必然複雜多變，往往不可能得到唯一答案。一般而言，數學開放題具有以下三個特徵 1 條件不足或多餘 2 沒有確定的結論或結論不唯一 3 解題的策略 思路多種多樣。解答數學開放題，需要我們從不同角度分析和思考問題，緊密...