經典例題透析
型別一、指數式與對數式互化及其應用
1．將下列指數式與對數式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
思路點撥：運用對數的定義進行互化.
解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；
(6).
總結昇華：對數的定義是對數形式和指數形式互化的依據，而對數形式和指數形式的互化又是解決問題的重要手段.
舉一反三：
【變式1】求下列各式中x的值：
(1) (2) (3)lg100=x (4)
思路點撥：將對數式化為指數式，再利用指數冪的運算性質求出x.
解：(1)；
(2)；
(3)10x=100=102，於是x=2；
(4)由.
型別二、利用對數恒等式化簡求值
2．求值： 解：.
總結昇華：對數恒等式中要注意格式：①它們是同底的；②指數中含有對數形式；③其值為真數.舉一反三：
【變式1】求的值(a，b，c∈r+，且不等於1，n>0)
思路點撥：將冪指數中的乘積關係轉化為冪的冪，再進行運算.
解：.型別三、積、商、冪的對數
3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.
(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15
解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a
(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b
(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a
舉一反三：
【變式1】求值
(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【變式2】已知3a=5b=c，，求c的值.
解：由3a=c得：
同理可得
.【變式3】設a、b、c為正數，且滿足a2+b2=c2.求證：.
證明：.
【變式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求證：.
證明：∵ a2+b2=7ab， ∴ a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， ∴ lg(a+b)2=lg(9ab)，
∵ a>0，b>0， ∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb
即 .型別四、換底公式的運用
4．(1)已知logxy=a， 用a表示；
(2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.
解：(1)原式=；
(2)思路點撥：將條件和結論中的底化為同底.
方法一：am=x， bn=x， cp=x
∴，∴ ；方法二：.
舉一反三：
【變式1】求值：(1)；(2)；(3).
解：(1)(2)；
(3)法一：
法二：.
總結昇華：運用換底公式時，理論上換成以大於0不為1任意數為底均可，但具體到每乙個題，一般以題中某個對數的底為標準，或都換成以10為底的常用對數也可.
型別五、對數運算法則的應用
5．求值
(1) log89·log2732
(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
解：(1)原式=.
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
舉一反三：
【變式1】求值：
解：另解：設 =m (m>0).∴ ，
∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即.
【變式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?
解：∵ ∴，
型別六、函式的定義域、值域
求含有對數函式的復合函式的定義域、值域，其方法與一般函式的定義域、值域的求法類似，但要注意對數函式本身的性質（如定義域、值域及單調性）在解題中的重要作用.
6. 求下列函式的定義域：
(1)； (2).
思路點撥：由對數函式的定義知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定義域.
解：(1)因為x2>0，即x≠0，所以函式；
(2)因為4-x>0，即x<4，所以函式.
舉一反三：
【變式1】求下列函式的定義域.
(1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且a1，kr).
解：(1)因為， 所以，
所以函式的定義域為(1，)(，2).
(2)因為 ax-k·2x>0， 所以()x>k.
[1]當k≤0時，定義域為r；
[2]當k>0時，
(i)若a>2，則函式定義域為(k，+∞)；
(ii)若00且a≠1)
思路點撥：由數形結合的方法或利用函式的單調性來完成.
(1)解法1：畫出對數函式y=log2x的圖象，橫座標為3.4的點在橫座標為8.5的點的下方，
所以，log23.4log0.32.7；
(3)注：底數是常數，但要分類討論a的範圍，再由函式單調性判斷大小.
解法1：當a>1時，y=logax在(0，+∞)上是增函式，且5.1<5.9，所以，loga5.1loga5.9
解法2：轉化為指數函式，再由指數函式的單調性判斷大小，
令b1=loga5.1，則，令b2=loga5.9，則
當a>1時，y=ax在r上是增函式，且5.1<5.9
所以，b1b2，即.
舉一反三：
【變式1】（2011 天津理 7）已知則（ ）
a． b． c． d．
解析：另，，，在同一座標系下作出三個函式影象，
由影象可得
又∵為單調遞增函式， ∴ 故選c.
9. 證明函式上是增函式.
思路點撥：此題目的在於讓學生熟悉函式單調性證明通法，同時熟悉利用對函式單調性比較同底數對數大小的方法.
證明：設，且x10且a≠1)，試判斷函式f(x)的單調性.
解：設t=logax(x∈r+， t∈r).當a>1時，t=logax為增函式，若t11， ∴ f(t1)1或00，即-10的解集為r，這是不等式中的常規問題.
f(x)的值域為r與ax2+2x+1恒為正值是不等價的，因為這裡要求f(x)取遍一切實數，
即要求u=ax2+2x+1取遍一切正數，考察此函式的圖象的各種情況，如圖，我們會發現，
使u能取遍一切正數的條件是.
解：(1)f(x)的定義域為r，即：關於x的不等式ax2+2x+1>0的解集為r，
當a=0時，此不等式變為2x+1>0，其解集不是r；
當a≠0時，有 a>1.∴ a的取值範圍為a>1.
(2)f(x)的值域為r，即u=ax2+2x+1能取遍一切正數 a=0或0≤a≤1，
∴ a的取值範圍為0≤a≤1.
13．已知函式h(x)=2x(x∈r)，它的反函式記作g(x)，a、b、c三點在函式g(x)的圖象上，它們的橫座標分別為a，a+4，a+8(a>1)，記δabc的面積為s.
(1)求s=f(a)的表示式； (2)求函式f(a)的值域；
(3) 判斷函式s=f(a)的單調性，並予以證明；(4)若s>2，求a的取值範圍.
解：(1)依題意有g(x)=log2x(x>0).
並且 a、b、c三點的座標分別為a(a， log2a)， b(a+4， log2(a+4))，
c(a+8， log2(a+8)) (a>1)，如圖.
∴a，c中點d的縱座標為〔log2a+log2(a+8)〕
∴ s=|bd|·4·2=4|bd|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).
(2)把s=f(a)變形得：s=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2
=2log2(1+).
由於a>1時，a2+8a>9， ∴1<1+<，又函式y=log2x在(0，+∞)上是增函式，
∴ 0<2log2(1+)<2log2，即01，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0， +8a2>0， +8a1>0， a1-a2<0，
∴ 1<1+<1+，再由函式y=log2x在(0，+∞)上是增函式，
於是可得f(a1)>f(a2)
∴ s=f(a)在(1，+∞)上是減函式.
(4)由s>2，即得，解之可得：1 1 對數概念 1.如果，那麼數b叫做以a為底n的對數，記作 logan b.其中a叫做對數的底 數，n叫做真數.2.對數恒等式 3.對數具有下列性質 1 0和負數沒有對數，即 2 1的對數為0，即 3 底的對數等於1，即.二 常用對數與自然對數 通常將以10為底的對數叫做常用對數，以e為底的對數叫做... 指數函式y ax與對數函式互為反函式，它們的圖象關於直線 對稱.1.寫出下列各式的值 1 log26 log232 lg 5 lg 20 3 log53 log5 4 log35 log315 2.2011 江蘇 函式f x log5 2x 1 的單調增區間是 3.已知函式f x loga x b ... 例題講解 一 利用對數恒等式化簡求值 1 求值 2 求的值 a，b，c r 且不等於1，n 0 二 積 商 冪的對數 3 求值 1 2 lg2 lg50 lg5 2 3 lg25 lg2 lg50 lg2 2 4 已知3a 5b c，求c的值.5 設a b c為正數，且滿足a2 b2 c2.求證 6...對數與對數函式基礎
2 7對數與對數函式
對數極對數函式題型總結