本試卷分第ⅰ卷(選擇題)和第ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．
第ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．設x，y，z都是正實數，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，則a，b，c三個數( )
a．至少有乙個不大於2 b．都小於2
c．至少有乙個不小於2 d．都大於2
【答案】c
2．命題：若整係數一元二次方程有有理數根，那麼中至少有乙個是偶數。用反證法證明該命題時，應反設的是( )
a．假設都是偶數 b．假設都不是偶數
c．假設至多有乙個偶數 d．假設至多有兩個偶數
【答案】b
3．對於三次函式f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），定義：設f″（x）是函式y＝f′（x）的導數，若方程f″（x）＝0有實數解x0，則稱點（x0，f（x0））為函式y＝f（x）的「拐點」．有同學發現:「任何乙個三次函式都有『拐點』；任何乙個三次函式都有對稱中心；且『拐點』就是對稱中心．」請你將這一發現為條件，若函式g（x）＝x3－x2＋3x－＋，則的值是( )
a．2010 b．2011 c．2012 d．2013
【答案】a
4．平面內有條直線，最多可將平面分成個區域，則的表示式為( )
a． b． c． d．
【答案】c
5．用反證法證明命題：「三角形的內角中至少有乙個不大於60度」時，下列假設正確的是( )
a． 假設三內角都不大於60度 b． 假設三內角至多有乙個大於60度
c． 假設三內角都大於60度 d． 假設三內角至多有兩個大於60度
【答案】c
6．德國數學家洛薩·科拉茨2023年提出了乙個猜想：任給乙個正整數n，如果它是偶數，就將它減半；如果它是奇數，則將它乘3再加1，不斷重複這樣的運算，經過有限步後，一定可以得到1。如初始正整數為6，按照上述變換規則，得到乙個數列：
6，3，10，5，16，8，4，2，1。現在請你研究：如果對正整數n（首項），按照上述規則實施變換（1可以多次出現）後的第八項為1，則n的所有可能的對值為( )
a．2，3，16，20，21，128 b．2，3，16，21
c．2，16，21，128 d．3，16，20，21，64
【答案】a
7．用反證法證明「方程至多有兩個解」的假設中，正確的是( )
a． 至多有乙個解 b． 有且只有兩個解
c． 至少有三個解 d． 至少有兩個解
【答案】c
8．「因為指數函式y＝ax是增函式(大前提)，而y＝是指數函式(小前提)，所以y＝是增函式(結論)」，上面推理的錯誤是( )
a．大前提錯導致結論錯
b．小前提錯導致結論錯
c．推理形式錯導致結論錯
d．大前提和小前提錯都導致結論錯
【答案】a
9．用反證法證明「如果，那麼」時，反證假設的內容應是( )
ab．c．或 d． 且
【答案】c
10．用反證法證明「如果a>b，那麼」假設的內容應是( )
a． b．
c．且 d．或
【答案】d
11．用反證法證明命題：「若整數係數一元二次方程有有理根，那麼中至少有乙個是偶數」時，應假設( )
a．中至多乙個是偶數 b． 中至少乙個是奇數
c． 中全是奇數 d． 中恰有乙個偶數
【答案】c
12．若，則的大小關係是( )
a． b． c． d．由的取值確定
【答案】c
第ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
13．18世紀的時候，尤拉通過研究，發現凸多面體的面數f、頂點數v和稜數e滿足乙個等式關係. 請你研究你熟悉的一些幾何體（如三稜錐、三稜柱、正方體……），歸納出f、v、e之間的關係等式
【答案】v+f-e=2
14．定義「」為雙曲正弦函式,「」為雙曲余弦函式,它們與正、余弦函式有某些類似的性質,如:
等,請你再寫出乙個類似的性質:
【答案】
15．已知整數對排列如下
，則第60個整數對是
【答案】
16．研究問題：「已知關於的不等式的解集為，解關於的不等式」，有如下解法：
解：由，令，則，
所以不等式的解集為．
參考上述解法，已知關於的不等式的解集為，則關於的不等式的解集為
【答案】
三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．已知函式,用反證法證明:方程沒有負實數根.
【答案】假設存在x0<0(x0≠-1),滿足f(x0)=0,
則=-,且0<<1,
所以0<-<1,即與假設x0<0矛盾,故方程f(x)=0沒有負數根.
18．有一種密英文的明文(真實文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z的26個字母(不分大小寫),依次對應1,2,3,…,26這26個自然數,見如下**:
給出如下變換公式:
將明文轉換成密文,如8→+13=17,即h變成q；如5→=3，即e變成c.
①按上述規定，將明文good譯成的密文是什麼？
②按上述規定，若將某明文譯成的密文是shxc，那麼原來的明文是什麼？
【答案】①g→7→=4→d; o→15→=8→h; d→o;
則明文good的密文為dhho
②逆變換公式為
則有s→19→2×19-26=12→l； h→8→2×8-1=15→o；
x→24→2×24-26=22→v； c→3→2×3-1=5→e
故密文shxc的明文為love
19．祖?原理也就是「等積原理」，它是由我國南北朝傑出的數學家、祖沖之的兒子祖?首先提出來的. 祖?原理的內容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行於這兩個平行平面的平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那麼這兩個幾何體的體積相等.
可以用詩句「兩個胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面積，兩人必然同樣胖」形象表示其內涵. 利用祖?原理可以推導幾何體的體積公式，關鍵是要構造乙個參照體.
試用祖?原理推導球的體積公式.
【答案】我們先推導半球的體積. 為了計算半徑為r的半球的體積，我們先觀察、、這三個量（等底等高）之間的不等關係，
可以發現<<，即，根據這一不等關係，我們可以猜測，並且由猜測可發現.
下面進一步驗證了猜想的可靠性. 關鍵是要構造乙個參照體，這樣的參照體我們可以用圓柱內挖去乙個圓錐構造出，如右圖所示. 下面利用祖?原理證明猜想.
證明：用平行於平面α的任意乙個平面去截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環面. 如果截平面與平面α的距離為，那麼圓面半徑，圓環面的大圓半徑為r，小圓半徑為r.
因此，， ∴ .
根據祖?原理，這兩個幾何體的體積相等，即，
所以.20．求證：．
【答案】由於，，
故只需證明．
只需證，即．
只需證．
因為顯然成立，
所以．21．已知，用分析法證明：.
【答案】要證，即證，
即證，即證，
因為，所以，
所以，不等式得證．
22．已知，求證：。
【答案】證明：要證，只需證：,
只需證：
只需證：
只需證：，而這是顯然成立的，
所以成立。
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