《空間向量與立體幾何》一輪複習導學案（一）2017.12
一．利用空間向量證明平行與垂直
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【例1】 如圖所示，在四稜錐p－abcd中，pc⊥平面abcd，pc＝2，在四邊形abcd中，∠b＝∠c＝90°，ab＝4，cd＝1，點m在pb上，pb＝4pm，pb與平面abcd成30°的角．
(1)求證：cm∥平面pad；
(2)求證：平面pab⊥平面pad.
【變式訓練1】 如圖所示，在直三稜柱abc－a1b1c1中，△abc為等腰直角三角形，∠bac＝90°，且ab＝aa1，d、e、f分別為b1a，c1c，bc的中點．
求證：(1)de∥平面abc；(2)b1f⊥平面aef.
二．利用空間向量求空間角
(1)兩條異面直線所成角的求法
設兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為，則
(2)直線和平面所成角的求法
如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin
(3)求二面角的大小
a．如圖①，ab，cd是二面角α—l—β兩個半平面內與稜l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．
b．如圖②③，n1，n2分別是二面角α—l—β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cos
【例2】 如圖，已知點p在正方體abcd－a′b′c′d′的對角線bd′上，∠pda＝60°. (1)求dp與cc′所成角的大小；
(2)求dp與平面aa′d′d所成角的大小．
【變式訓練2】(2016·高考全國卷ⅲ)如圖，四稜錐pabcd中，pa⊥底面abcd，ad∥bc，ab＝ad＝ac＝3，pa＝bc＝4，m為線段ad上一點，am＝2md，n為pc的中點．
(1)證明mn∥平面pab；
(2)求直線an與平面pmn所成角的正弦值．
【例3】(2016·瀋陽教學質量監測)
如圖，bc為圓o的直徑，d為圓周上異於b、c的一點，ab垂直於圓o所在的平面，
be⊥ac於點e，bf⊥ad於點f.
(1)求證：bf⊥平面acd；
(2)若ab＝bc＝2，∠cbd＝45°，求平面bef與平面bcd所成銳二面角的余弦值．
【變式訓練3】（2023年全國i卷）如圖三稜柱中，側面為菱形，.(ⅰ) 證明：；（ⅱ）若，，ab=bc
求二面角的余弦值.
課後鞏固練習
1. （2023年全國i卷）如圖，在已a，b，c，d，e，f為頂點的五面體中，面abef為正方形，af=2fd，，且二面角d-af-e與二面角c-be-f都是．
（i）證明平面abefefdc；
（ii）求二面角e-bc-a的余弦值．
2. （佛山市2016屆高三教學質量檢測（一））如圖，三稜柱中，側面側面，，，，為稜
的中點，在稜上，面．
（1）求證：為的中點；
（2）求二面角的余弦值．
《空間向量與立體幾何》一輪複習導學案（二）2016.12
三．利用空間向量求點到平面的距離
如圖，設ab為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，
則點b到平面α的距離d
【例4】如圖所示，已知四邊形abcd，eadm和mdcf都是邊長為
a的正方形，點p、q分別是ed和ac的中點，求：
(1) 與所成的角；
(2)p點到平面efb的距離；
(3)異面直線pm與fq之間的距離．
【變式訓練4】在直角梯形abcd中，ad∥bc，bc＝2ad＝2ab＝2，∠abc＝90°，如圖(1)，把△abd沿bd翻摺，使得平面abd⊥平面bcd，如圖
(1)求證：cd⊥ab；
(2)若點m為線段bc的中點，求點m到平面acd的距離．
四.利用空間向量求解開放性問題
【例5】如圖所示,在長方體abcda1b1c1d1中,aa1=ad=1,e為cd中點.
(1)求證:b1e⊥ad1;
(2)在稜aa1上是否存在一點p,使得dp∥平面b1ae?若存在,
求ap的長;若不存在,說明理由;
(3)若二面角ab1ea1的大小為30°,求ab的長.
【變式訓練5】如圖,正△abc的邊長為4,cd是ab邊上的高,e、f分別是ac和bc邊的中點,現將△abc沿cd翻摺成直二面角adcb.
(1)試判斷直線ab與平面def的位置關係,並說明理由;(2)求二面角edfc的余弦值;(3)**段bc上是否存在一點p,使ap⊥de? 存在,求出的值; 不存在,請說明理由.
課後鞏固練習
1.(2015·重慶卷)如圖，三稜錐pabc中，pc⊥平面abc，pc＝3，∠acb＝.d，e分別為線段ab，bc上的點，且cd＝de＝，ce＝2eb＝2.
(1)證明：de⊥平面pcd；
(2)求二面角apdc的余弦值．
2.(2016·山西省考前質量檢測)如圖，四稜錐pabcd中，底面abcd為梯形，pd⊥底面abcd，ab∥cd，ad⊥cd，ad＝ab＝1，bc＝.
(1)求證：平面pbd⊥平面pbc；
(2)設h為cd上一點，滿足＝2，若直線pc與平面pbd所成的角的正切值為，求二面角hpbc的余弦值
3．（茂名市2016屆高三二模）如圖1，已知四邊形為菱形，且,,為的中點。現將四邊形沿折起至，如圖
（i）求證：（ii）若二面角的大小為，求平面abh與平面ade所成銳二面角的余弦值。
4. （佛山市2016屆高三二模）如圖，在直四稜柱中，．（1）求證：平面平面；
（2）若,直線bc與平面a1bd所成的角能否為45°？並說明理由．
空間向量與立體幾何
一 平行與垂直問題 一 平行 線線平行 線面平行 面面平行 注意 這裡的線線平行包括線線重合，線面平行包括直線在平面內，面面平行包括面面重合。二 垂直 線線垂直 線面垂直 面面垂直 注意 畫出圖形理解結論 二 夾角與距離問題 一 夾角 二 距離 點 直線 平面之間的距離有7種。點到平面的距離是重點....
空間向量與立體幾何總複習 學生
一 知識網路構建 二 課標及考綱要求 三 知識要點及考點精析 一 空間向量及其運算 1 空間向量的概念 在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模 還需要掌握的幾個相關的概念包括相等向量 零向量 共線向量等 2 空間向量的線性運算 1 空間向量的加法 減法和數乘運算 ...
高考一輪複習 立體幾何中的向量方法 一
第7講立體幾何中的向量方法 一 2015年高考會這樣考 1 通過線線 線面 面面關係考查空間向量的座標運算 2 能用向量方法證明直線和平面位置關係的一些定理 3 利用空間向量求空間距離 複習指導 本講複習中要掌握空間向量的座標表示和座標運算，會找直線的方向向量和平面的法向量，並通過它們研究線面關係，...