1.（2014黔南州第26題）如圖，在平面直角座標系中，頂點為（4，﹣1）的拋物線交y軸於a點，交x軸於b，c兩點（點b在c的左側），已知a點座標為（0，3）．（1）求此拋物線的解析式。（2）過點b作線段ab的垂線交拋物線於點d，如果以點c為圓心的圓與直線bd相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙c有怎樣的位置關係，並給出證明；（3）已知點p是拋物線上的乙個動點，且位於a，c兩點之間，問：
當點p運動到什麼位置時，△pac的面積最大？並求出此時p點的座標和△pac的最大面積．
◆滿分解答：（1）設拋物線為y=a（x﹣4）2﹣1，
∵拋物線經過點a（0，3），∴3=a（0﹣4）2﹣1，；
∴拋物線為；（3分）
（2）相交．
證明：連線ce，則ce⊥bd，
當時，x1=2，x2=6．
a（0，3），b（2，0），c（6，0），對稱軸x=4，
∴ob=2，ab==，bc=4，
∵ab⊥bd，∴∠oab+∠oba=90°，∠oba+∠ebc=90°，
∴△aob∽△bec，
∴=，即=，解得ce=，∵＞2，∴拋物線的對稱軸l與⊙c相交．（7分）
（3）如圖，過點p作平行於y軸的直線交ac於點q；可求出ac的解析式為；（8分）
設p點的座標為（m，），則q點的座標為（m，）；
∴pq=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m．
∵s△pac=s△paq+s△pcq=×（﹣m2+m）×6=﹣（m﹣3）2+；
∴當m=3時，△pac的面積最大為；此時，p點的座標為（3，）．（10分）
2.(2023年山西省中考第26題)如圖1，在平面直角座標系中，四邊形oabc是平行四邊形．直線l經過o、c兩點，點a的座標為(8，0)，點b的座標為(11，4)，動點p**段oa上從o出發以每秒1個單位的速度向點a運動，同時動點q從點a出發以每秒2個單位的速度沿a→b→c的方向向點c運動，過點p作pm垂直於x軸，與折線o—c—b相交於點m．當p、q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點p、q運動的時間為t秒（t＞0），△mpq的面積為s．
（1）點c的座標為直線l的解析式為
（2）試求點q與點m相遇前s與t的函式關係式，並寫出相應的t的取值範圍．
（3）試求題（2）中當t為何值時，s的值最大？最大值是多少？
圖1◆滿分解答：（1）點c的座標為(3，4)，直線l的解析式為：
（2）①當m在oc上，q在ab上時，在rt△opm中，op＝t，，所以．
在rt△aqe中，aq＝2t，，所以．
於是．因此．
②當m在oc上，q在bc上時，．
因為，所以．因此．
③當m、q相遇時，根據p、q的路程和，解得．
因此當m、q都在bc上，相遇前，，pm＝4，．
所以．圖2圖3圖4
（3）①當時，．
因為拋物線開口向上，在對稱軸右側，s隨t的增大而增大，所以當時，s最大，最大值為．
②當時，．因為拋物線開口向下，所以當時，s最大，最大值為．③當時，．因為s隨t的增大而減小，所以當時，s最大，最大值為14．綜上所述，當時，s最大，最大值為．
◆考點伸展：第（2）題中，m、q從相遇到運動結束，s關於t的函式關係式是怎樣的？
此時，．因此．
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