中考數學二輪複習精品資料
動點型問題
一、中考專題詮釋
所謂「動點型問題」是指題設圖形中存在乙個或多個動點,它們**段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜,靈活運用有關數學知識解決問題.
「動點型問題」 題型繁多、題意創新，考察學生的分析問題、解決問題的能力，內容包括空間觀念、應用意識、推理能力等，是近幾年中考題的熱點和難點。
二、解題策略和解法精講
解決動點問題的關鍵是「動中求靜」.
從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函式影象等圖形，通過「對稱、動點的運動」等研究手段和方法，來探索與發現圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質是解決數學「動點」**題的基本思路,這也是動態幾何數學問題中最核心的數學本質。
三、中考考點精講
考點一：建立動點問題的函式解析式（或函式影象）
函式揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規律,是初中數學的重要內容.動點問題反映的是一種函式思想,由於某乙個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關係,這種變化關係就是動點問題中的函式關係.
例1 （2013蘭州）如圖，動點p從點a出發，沿線段ab運動至點b後，立即按原路返回，點p在運動過程中速度不變，則以點b為圓心，線段bp長為半徑的圓的面積s與點p的運動時間t的函式圖象大致為（ ）
a． b． c． d．
思路分析：分析動點p的運動過程，採用定量分析手段，求出s與t的函式關係式，根據關係式可以得出結論．
解：不妨設線段ab長度為1個單位，點p的運動速度為1個單位，則：
（1）當點p在a→b段運動時，pb=1-t，s=π（1-t）2（0≤t＜1）；
（2）當點p在b→a段運動時，pb=t-1，s=π（t-1）2（1≤t≤2）．
綜上，整個運動過程中，s與t的函式關係式為：s=π（t-1）2（0≤t≤2），
這是乙個二次函式，其圖象為開口向上的一段拋物線．結合題中各選項，只有b符合要求．
故選b．
點評：本題結合動點問題考查了二次函式的圖象．解題過程中求出了函式關係式，這是定量的分析方法，適用於本題，如果僅僅用定性分析方法則難以作出正確選擇．
對應訓練
1．（2013**）如圖，⊙o的圓心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分線上運動，且⊙o與∠α的兩邊相切，圖中陰影部分的面積s關於⊙o的半徑r（r＞0）變化的函式圖象大致是（ ）
a．b． c．d．
1．c考點二：動態幾何型題目
點動、線動、形動構成的問題稱之為動態幾何問題. 它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想於一題. 這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.
動態幾何特點----問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關係；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查**運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函式、線段或面積的最值。
（一）點動問題．
例2 （2013河北）如圖，梯形abcd中，ab∥dc，de⊥ab，cf⊥ab，且ae=ef=fb=5，de=12動點p從點a出發，沿折線ad-dc-cb以每秒1個單位長的速度運動到點b停止．設運動時間為t秒，y=s△epf，則y與t的函式圖象大致是（ ）
a． b． c． d．
思路分析：分三段考慮，①點p在ad上運動，②點p在dc上運動，③點p在bc上運動，分別求出y與t的函式表示式，繼而可得出函式圖象．
解：在rt△ade中，ad=，在rt△cfb中，bc=，
①點p在ad上運動：
過點p作pm⊥ab於點m，則pm=apsin∠a=t，
此時y=ef×pm=t，為一次函式；
②點p在dc上運動，y=ef×de=30；
③點p在bc上運動，過點p作pn⊥ab於點n，則pn=bpsin∠b=（ad+cd+bc-t）=，
則y=ef×pn=，為一次函式．
綜上可得選項a的圖象符合．
故選a．
點評：本題考查了動點問題的函式圖象，解答本題的關鍵是分段討論y與t的函式關係式，當然在考試過程中，建議同學們直接判斷是一次函式還是二次函式，不需要按部就班的解出解析式．
對應訓練
2．（2013北京）如圖，點p是以o為圓心，ab為直徑的半圓上的動點，ab=2．設弦ap的長為x，△apo的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函式關係的圖象大致是（ ）
a． b．
c． d．
2．a（二）線動問題
例3 （2013荊門）如右圖所示，已知等腰梯形abcd，ad∥bc，若動直線l垂直於bc，且向右平移，設掃過的陰影部分的面積為s，bp為x，則s關於x的函式圖象大致是（ ）
a． b．
c． d．
思路分析：分三段考慮，①當直線l經過ba段時，②直線l經過ad段時，③直線l經過dc段時，分別觀察出面積變化的情況，然後結合選項即可得出答案．
解：①當直線l經過ba段時，陰影部分的面積越來越大，並且增大的速度越來越快；
②直線l經過dc段時，陰影部分的面積越來越大，並且增大的速度保持不變；
③直線l經過dc段時，陰影部分的面積越來越大，並且增大的速度越來越小；
結合選項可得，a選項的圖象符合．
故選a．
點評：本題考查了動點問題的函式圖象，類似此類問題，有時候並不需要真正解出函式解析式，只要我們能判斷面積增大的快慢就能選出答案．
對應訓練
3．（2013永州）如圖所示，在矩形abcd中，垂直於對角線bd的直線l，從點b開始沿著線段bd勻速平移到d．設直線l被矩形所截線段ef的長度為y，運動時間為t，則y關於t的函式的大致圖象是（ ）
a． b．
c． d．
3．a（三）面動問題
例4 （2013牡丹江）如圖所示：邊長分別為1和2的兩個正方形，其中一邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設穿過的時間為t，大正方形內去掉小正方形後的面積為s，那麼s與t的大致圖象應為（ ）
a． b． c． d．
思路分析：根據題意，設小正方形運動的速度為v，分三個階段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分別求出s，可得答案．
解：根據題意，設小正方形運動的速度為v，分三個階段；
①小正方形向右未完全穿入大正方形，s=2×2-vt×1=4-vt，
②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，s=2×2-1×1=3，
③小正方形穿出大正方形，s=vt×1，
分析選項可得，a符合；
故選a．
點評：解決此類問題，注意將過程分成幾個階段，依次分析各個階段得變化情況，進而綜合可得整體得變化情況．
對應訓練
4．（2013衡陽）如圖所示，半徑為1的圓和邊長為3的正方形在同一水平線上，圓沿該水平線從左向右勻速穿過正方形，設穿過時間為t，正方形除去圓部分的面積為s（陰影部分），則s與t的大致圖象為（ ）
a． b． c． d．
4．a考點三：雙動點問題
動態問題是近幾年來中考數學的熱點題型.這類試題資訊量大,其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為中考試題的熱點中的熱點，雙動點問題對同學們獲取資訊和處理資訊的能力要求更高高;解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運動、變化的全過程,並特別關注運動與變化中的不變數、不變關係或特殊關係,動中取靜,靜中求動.
例5 （2013攀枝花）如圖，在平面直角座標系中，四邊形abcd是梯形，ab∥cd，點b（10，0），c（7，4）．直線l經過a，d兩點，且sin∠dab=．動點p**段ab上從點a出發以每秒2個單位的速度向點b運動，同時動點q從點b出發以每秒5個單位的速度沿b→c→d的方向向點d運動，過點p作pm垂直於x軸，與折線a→d→c相交於點m，當p，q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設點p，q運動的時間為t秒（t＞0），△mpq的面積為s．
（1）點a的座標為4，0）
，直線l的解析式為y=x+4
；（2）試求點q與點m相遇前s與t的函式關係式，並寫出相應的t的取值範圍；
（3）試求（2）中當t為何值時，s的值最大，並求出s的最大值；
（4）隨著p，q兩點的運動，當點m**段dc上運動時，設pm的延長線與直線l相交於點n，試**：當t為何值時，△qmn為等腰三角形？請直接寫出t的值．
思路分析：（1）利用梯形性質確定點d的座標，利用sin∠dab=特殊三角函式值，得到△aod為等腰直角三角形，從而得到點a的座標；由點a、點d的座標，利用待定係數法求出直線l的解析式；
（2）解答本問，需要弄清動點的運動過程：
①當0＜t≤1時，如答圖1所示；
②當1＜t≤2時，如答圖2所示；
③當2＜t＜時，如答圖3所示．
（3）本問考查二次函式與一次函式在指定區間上的極值，根據（2）中求出的s表示式與取值範圍，逐一討論計算，最終確定s的最大值；
（4）△qmn為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解．
解：（1）∵c（7，4），ab∥cd，
∴d（0，4）．
∵sin∠dab=，
∴∠dab=45°，
∴oa=od=4，
∴a（-4，0）．
設直線l的解析式為：y=kx+b，則有，
解得：k=1，b=4，
∴y=x+4．
∴點a座標為（-4，0），直線l的解析式為：y=x+4．
（2）在點p、q運動的過程中：
①當0＜t≤1時，如答圖1所示：
過點c作cf⊥x軸於點f，則cf=4，bf=3，由勾股定理得bc=5．
過點q作qe⊥x軸於點e，則be=bqcos∠cbf=5t=3t．
∴pe=pb-be=（14-2t）-3t=14-5t，
s=pmpe=×2t×（14-5t）=-5t2+14t；
②當1＜t≤2時，如答圖2所示：
過點c、q分別作x軸的垂線，垂足分別為f，e，
則cq=5t-5，pe=af-ap-ef=11-2t-（5t-5）=16-7t，
s=pmpe=×2t×（16-7t）=-7t2+16t；
③當點m與點q相遇時，dm+cq=cd=7，
即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=．
當2＜t＜時，如答圖3所示：
mq=cd-dm-cq=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，
s=pmmq=×4×（16-7t）=-14t+32．
（3）①當0＜t≤1時，s=-5t2+14t=-5（t-）2+，
∵a=-5＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，
∴當0＜t≤1時，s隨t的增大而增大，
∴當t=1時，s有最大值，最大值為9；
②當1＜t≤2時，s=-7t2+16t=-7（t-）2+，
∵a=-7＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，
∴當t=時，s有最大值，最大值為；
③當2＜t＜時，s=-14t+32
∵k=-14＜0，
∴s隨t的增大而減小．
又∵當t=2時，s=4；
當t=時，s=0，
∴0＜s＜4．
綜上所述，當t=時，s有最大值，最大值為．
（4）△qmn為等腰三角形，有兩種情形：
①如答圖4所示，點m**段cd上，
mq=cd-dm-cq=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，mn=dm=2t-4，
由mn=mq，得16-7t=2t-4，解得t=；
②如答圖5所示，當點m運動到c點，同時當q剛好運動至終點d，
此時△qmn為等腰三角形，t=．
故當t=或t=時，△qmn為等腰三角形．
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