專題五圖形與證明
一、 考點綜述
考點內容：
1. 了解定義、命題、定理、互逆命題、反證法的含義；
2. 掌握平行線的性質定理和判定定理；
3. 全等和相似三角形的性質定理和判定定理、直角三角形全等相似的判定定理；
4. 掌握三角形的內角和定理和推論、角平分線和垂直平分線性質定理及逆定理、三角形中位線定理；
5. 掌握等腰三角形、等邊三角形、直角三角形性質與判定定理；
6. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質和判定定理；
7. 與圓有關的性質和定理
考綱要求：
1.基本概念、三角形、四邊形與特殊四邊形等知識是推理論證的物件，要求能進行較嚴格的推理證明；題目以 「證明」形式存在；
2.圓中的切線要求會證明；
4.會用相似形或全等的知識證明或求解線段與角度的計算問題.
5.會用解直角三角形的知識求解實際問題.
6.能用圓心角、圓周角換算與計算，能求解弧長與扇形面積；會求圓柱與圓錐的表面積；能解決圓與解直角三角形的結合問題.
7.能用反證法證明簡單的文字問題.
考查方式及分值：
本部分的內容多以解答或證明說理的形式出現，中考壓軸的題目往往是這部分多種知識的綜合，所佔分值比重比較高約佔30%左右。
備考策略：
本部分知識是中考的重點，在複習時必須首先要掌握好各種定理和性質，能熟練記住，再進一步強化訓練，立足於課本，要一題多解、舉一反三。
二、例題精析
例1．如圖1，已知點在的邊上，交於，交於．
（1）求證：；
（2）若平分，試判斷四邊形的形狀，並說明理由．
解題思路：本題主要考查同學們對平行四邊形及特殊的平行四邊形的判定方法的把握．
證明：（1）∵，
∴，同理．
∵，∴，∴．
（2）若平分，四邊形是菱形．
∵，，∴四邊形是平行四邊形，
∵，∴，
∴平行四邊形為菱形．
規律總結：三角形全等及平行四邊形的性質都可以證明兩線段相等，此類題起點低，注重基礎知識及基本技能的考查，考查了同學們最基本的幾何推理證明能力．
例2．如圖2，是⊙o的直徑，是⊙o上一點，過圓心作，為垂足，是上一點，是的中點，的延長線交於．
（1）圖中線段、所在直線有怎樣的位置關係？寫出你的結論，並給出證明過程；
（2）猜想線段三者之間有怎樣的數量關係？
寫出你的結論，並給出證明過程．
解題思路：平面內兩直線的位置關係只有平行和相交兩種，先通過觀察圖形可猜想od∥bc，再利用圓的有關概念及性質得證．
解：（1）結論：．
證明：∵是⊙o的直徑，是⊙o上一點，
∴，即bc⊥ac．
又od⊥ac，∴od∥bc．
（2）結論：．
證明：∵od⊥ac，∴ad=dc．
又o為ab的中點，∴od是△abc的中位線．
∴bc=2od．
在△odg與△efg中，
∵dg=eg，∠god=∠gfe，∠odg=∠feg，
∴．∴od=ef．
∴．∴．規律總結：為了使同學們對推理論證的必要性有更深刻的理解，新課程中的邏輯推理常在**、猜想的前提下進行．本題就採用了這種方式．該題主要考查了直徑與圓周角、垂直於弦的直徑等概念之間的聯絡．
例3．如圖，已知⊙o的直徑ab＝2，直線m與⊙o相切於點a，p為⊙o上一動點（與點a、點b不重合），po的延長線與⊙o相交於點c，過點c的切線與直線m相交於點d．
（1）求證：△apc∽△cod．
（2）設ap＝x，od＝y，試用含x的代數式表示y．
（3）試探索x為何值時，△acd是乙個等邊三角形．
解題思路：運用圓的切線的性質、三角形的相似的判定和性質
解析：（1）∵是⊙o的直徑，cd是⊙o的切線
∠pac＝∠ocd＝90°，顯然△doa≌△doc
∴∠doa＝∠doc
∴∠apc＝∠cod
（2）由，得
， （3）若是乙個等邊三角形，則
於是，可得，
故，當時，是乙個等邊三角形
規律總結：認真審題，根據題目所給的條件充分利用圖形的性質及判定。
例4．如圖,c為線段bd上一動點,分別過點b、d作ab⊥bd,ed⊥bd,連線ac、ec.已知ab=5,de=1,bd=8,設cd=x.
(1)用含x的代數式表示ac＋ce的長；
(2)請問點c滿足什麼條件時,ac＋ce的值最小?
(3)根據(2)中的規律和結論,請構圖求出代數式的最小值.
解題思路：代數知識與幾何知識結合在一起，在直角三角形中
利用勾股定理，注意運用兩點之間線段最短。
解析: (1)
(2)當a、c、e三點共線時,ac+ce的值最小
(3)如下圖所示,作bd=12,過點b作ab⊥bd,過點d作ed⊥bd,使ab=2,ed=3,鏈結ae交bd於點c.ae的長即為代數式的最小值.
過點a作af∥bd交ed的延長線於點f,得矩形abdf,
則ab=df=2,af=bd=8.
所以ae==13
即的最小值為13.
規律總結：用代數的方法來解決幾何問題，是我們常用的方法，在沒有給出未知量的情況下，巧妙的設未知數。
例5．如圖，為直角，點為線段的中點，點是射線上的乙個動點（不與點重合），鏈結，作，垂足為，鏈結，過點作，交於．
（1）求證：；
（2）在什麼範圍內變化時，四邊形是梯形，並說明理由；
（3）在什麼範圍內變化時，線段上存在點，
滿足條件，並說明理由．
解題思路：根據題目的條件，注意角度之間的相等，三角形中位線的定理的運用，梯形的判定的運用。
解析：（1）在中，，，，．，
，．，，．．
．（2）由（1），而，
，即．若，則，．
，．當或時，四邊形為梯形．
（3）作，垂足為，則．
，．又為中點，為的中點．
為的中垂線．
．點在h上，．，．
．．又，．
當時，上存在點，滿足條件．
規律總結：探索在什麼條件下結論成立，可以從結論出發，根據已知，充分利用圖形的性質或判定，同時注意題目中的數量關係。
三、綜合訓練
一、 選擇題
1．下列說法中錯誤的是
a、一組對邊平行且有一組對角相等的四邊形是平行四邊形
b、四邊都相等的四邊形是菱形
c、四個角都相等的四邊形是矩形
d、對角線互相垂直的平行四邊形是正方形
2．下列四邊形①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的對角線一定相等的是（ ）
a、①②③ b、①②③④ c、①② d、②③
3．如圖，在平行四邊形abcd中，ac、bd相交於點o，下列結論：
①oa＝oc；②∠bad＝∠bcd；③ac⊥bd；④∠bad＋∠abc＝180°
中，正確的個數有（ ）
a、1 b、2 c、3 d、4
4．如圖．ab為⊙o的直徑，ac交⊙o於e點，bc交⊙o於d點，
cd=bd，∠c=70°．現給出以下四個結論：
①∠a=45°； ②ac=ab： ③； ④ce·ab=2bd2．
其中正確結論的序號是（ ）
ab．②③ c．②④ d．③④
5.如圖,已知⊙o的半徑為1.ab與⊙o相切於點a,ob與⊙o交於點c,
cd⊥oa,垂足為d,則cos∠aob的值等於
a.odb.oac.cdd.ab
二、填空題
1．如圖，在口abcd中，∠abc的角平分線be交ad於e點,
ab=5，ed=3，則口abcd的周長為 .
2．在菱形abcd中，ac=16，bd=12，則菱形的高是________。
3.菱形的周長為20cm,一條對角線長為6cm，則這個菱形的面積是________cm2
4. 如圖，已知⊙o的直徑ab=8cm，c為⊙o上的一點，∠bac=30°，
則bccm.
5．已知菱形的周長為，面積為，則這個菱形較短的對角線長為 ．
6．如圖，把乙個矩形紙片oabc放入平面直角座標系中，使oa、oc分
別落在x軸、y軸上，鏈結ob，將紙片oabc沿ob摺疊，使點a落在a』
的位置上．若ob=，，求點a』的座標為
三、解答題
1．如圖，在△abc與△abd中，bc＝bd．設點e是bc的中點，點f是bd的中點．
（1）請你在圖中作出點e和點f；(要求用尺規作圖,保留作圖痕跡,不寫作法與證明）
（2）連線ae，af．若∠abc＝∠abd，請你證明△abe≌△abf．
2．如圖，⊙o的半徑od經過弦ab(不是直徑)的中點c，過ab的延長線上一點p作⊙o的切線pe，e為切點，pe∥od；延長直徑ag交pe於點h；直線dg交oe於點f，交pe於點k．
（1）求證：四邊形ocpe是矩形；
（2）求證：hk＝hg；
（3）若ef＝2，fo＝1，求ke的長．
3．如圖，在rt△abc中，ab＝ac，p是邊ab（含端點）上的動點．過p作bc的垂線pr，r為垂足，∠prb的平分線與ab相交於點s，**段rs上存在一點t，若以線段pt為一邊作正方形ptef，其頂點e，f恰好分別在邊bc，ac上．
（1）△abc與△sbr是否相似，說明理由；
（2）請你探索線段ts與pa的長度之間的關係；
（3）設邊ab＝1，當p在邊ab（含端點）上運動時，
請你探索正方形ptef的面積y的最小值和最大值．
答案一、 選擇題
1. d 2. a 3. c 4.c 5.a
二、填空題
1. 26 2. 9.6 3. 24 4. 4cm 5. 4 6. (－，)
三、解答題
1.解：(1)能看到「分別以b，c為圓心，適當長為半徑畫弧，兩弧交於點m、n，
連線mn，交bc於e」的痕跡，能看到用同樣的方法「作出另一點f(或以b為圓心，be為半徑畫弧交bd於點f)」的痕跡.
(2)∵bc＝bd，e，f分別是bc，bd的中點，
∴be＝bf，(4分)
∵ab＝ab，∠abc＝∠abd,
∴△abe≌△abf.
2.解：(1)∵ac＝bc，ab不是直徑，
∴od⊥ab，∠pco＝90°
∵pe∥od,∴∠p＝90°，
∵pe是切線，∴∠peo＝90°，
∴四邊形ocpe是矩形.
(2)∵og＝od,∴∠ogd＝∠odg.
∵pe∥od,∴∠k＝∠odg.
∵∠ogd＝∠hgk,∴∠k＝∠hgk,
∴hk＝hg.(5分)
(3)∵ef＝2，of＝1,∴eo＝do＝3.
∵pe∥od，∴∠keo＝∠doe，∠k＝∠odg.
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