歸納猜想型問題
一、中考專題詮釋
歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注重。這類題要求根據題目中的圖形或者數字，分析歸納，直觀地發現共同特徵，或者發展變化的趨勢，據此去**估計它的規律或者其他相關結論，使帶有猜想性質的推斷盡可能與現實情況相吻合，必要時可以進行驗證或者證明，依此體現出猜想的實際意義。
二、解題策略和解法精講
歸納猜想型問題對考生的觀察分析能力要求較高，經常以填空等形式出現，解題時要善於從所提供的數字或圖形資訊中，尋找其共同之處，這個存在於個例中的共性，就是規律。其中蘊含著「特殊——一般——特殊」的常用模式，體現了總結歸納的數學思想，這也正是人類認識新生事物的一般過程。相對而言，猜想結論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學論證、具體應用的結合，解題的方法也更為靈活多樣：
計算、驗證、模擬、比較、測量、繪圖、移動等等，都能用到。
由於猜想本身就是一種重要的數學方法，也是人們探索發現新知的重要手段，非常有利於培養創造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的持續熱點。
三、中考考點精講
考點一：猜想數式規律
通常給定一些數字、代數式、等式或者不等式，然後猜想其中蘊含的規律。一般解法是先寫出數式的基本結構，然後通過橫比（比較同一等式中不同部分的數量關係）或縱比（比較不同等式間相同位置的數量關係）找出各部分的特徵，改寫成要求的格式。
例1 （2013巴中）觀察下面的單項式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根據你發現的規律，第8個式子是 -128a8
．思路分析：根據單項式可知n為雙數時a的前面要加上負號，而a的係數為2（n-1），a的指數為n．
解：第八項為-27a8=-128a8．
點評：本題是一道找規律的題目，這類題型在中考中經常出現．對於找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什麼規律變化的．
對應訓練
1．（2013株洲）一組資料為：x，-2x2，4x3，-8x4，…觀察其規律，推斷第n個資料應為 （-2）n-1xn
．1．（-2）n-1xn
考點二：猜想圖形規律
根據一組相關圖形的變化規律，從中總結通過圖形的變化所反映的規律。其中，以圖形為載體的數字規律最為常見。猜想這種規律，需要把圖形中的有關數量關係列式表達出來，再對所列式進行對照，仿照猜想數式規律的方法得到最終結論。
例2 （2013牡丹江）用大小相同的小三角形擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規律擺放，則第n個圖案中共有小三角形的個數是3n+4
．思路分析：觀察圖形可知，第1個圖形共有三角形5+2個；第2個圖形共有三角形5+3×2-1個；第3個圖形共有三角形5+3×3-1個；第4個圖形共有三角形5+3×4-1個；…；則第n個圖形共有三角形5+3n-1=3n+4個；
解答：解：觀察圖形可知，第1個圖形共有三角形5+2個；
第2個圖形共有三角形5+3×2-1個；
第3個圖形共有三角形5+3×3-1個；
第4個圖形共有三角形5+3×4-1個；
…；則第n個圖形共有三角形5+3n-1=3n+4個；故答案為：3n+4
點評：此題考查了規律型：圖形的變化類，解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著「編號」或「序號」增加時，後乙個圖形與前乙個圖形相比，在數量上增加（或倍數）情況的變化，找出數量上的變化規律，從而推出一般性的結論．
例3 （2013綏化）如圖所示，以o為端點畫六條射線後oa，ob，oc，od，oe，o後f，再從射線oa上某點開始按逆時針方向依次在射在線描點並連線，若將各條射線所描的點依次記為1，2，3，4，5，6，7，8…後，那麼所描的第2013個點在射線oc
上．思路分析：根據規律得出每6個數為一週期．用2013除以3，根據餘數來決定數2013在哪條射線上．
解：∵1在射線oa上，
2在射線ob上，
3在射線oc上，
4在射線od上，
5在射線oe上，
6在射線of上，
7在射線oa上，
…每六個一迴圈，
2013÷6=335…3，
∴所描的第2013個點在射線和3所在射線一樣，
∴所描的第2013個點在射線oc上．
故答案為：oc．
點評：此題主要考查了數字變化規律，根據數的迴圈和餘數來決定數的位置是解題關鍵．
對應訓練
2．（2013婁底）如圖，是用火柴棒拼成的圖形，則第n個圖形需2n+1
根火柴棒．
2．2n+1
3．（2013江西）觀察下列圖形中點的個數，若按其規律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數為n+1）2
（用含n的代數式表示）．
3．（n+1）2
解：第1個圖形中點的個數為：1+3=4，
第2個圖形中點的個數為：1+3+5=9，
第3個圖形中點的個數為：1+3+5+7=16，
…，第n個圖形中點的個數為：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．
故答案為：（n+1）2．
考點三：猜想座標變化規律
例3 （2013威海）如圖，在平面直角座標系中，點a，b，c的座標分別為（1，0），（0，1），（-1，0）．乙個電動玩具從座標原點0出發，第一次跳躍到點p1．使得點p1與點o關於點a成中心對稱；第二次跳躍到點p2，使得點p2與點p1關於點b成中心對稱；第三次跳躍到點p3，使得點p3與點p2關於點c成中心對稱；第四次跳躍到點p4，使得點p4與點p3關於點a成中心對稱；第五次跳躍到點p5，使得點p5與點p4關於點b成中心對稱；…照此規律重複下去，則點p2013的座標為 （0，-2）
．思路分析：計算出前幾次跳躍後，點p1，p2，p3，p4，p5，p6，p7的座標，可得出規律，繼而可求出點p2013的座標．
解：點p1（2，0），p2（-2，2），p3（0，-2），p4（2，2），p5（-2，0），p6（0，0），p7（2，0），
從而可得出6次乙個迴圈，
∵=335…3，
∴點p2013的座標為（0，-2）．
故答案為：（0，-2）．
點評：本題考查了中心對稱及點的座標的規律變換，解答本題的關鍵是求出前幾次跳躍後點的座標，總結出一般規律．
對應訓練
3．（2013蘭州）如圖，在直角座標系中，已知點a（-3，0）、b（0，4），對△oab連續作旋轉變換，依次得到△1、△2、△3、△4…，則△2013的直角頂點的座標為8052，0）
．3．（8052，0）
考點四：猜想數量關係
數量關係的表現形式多種多樣，這些關係不一定就是我們目前所學習的函式關係式。在猜想這種問題時，通常也是根據題目給出的關係式進行模擬，仿照猜想數式規律的方法解答。
例4 （2013黑龍江）正方形abcd的頂點a在直線mn上，點o是對角線ac、bd的交點，過點o作oe⊥mn於點e，過點b作bf⊥mn於點f．
（1）如圖1，當o、b兩點均在直線mn上方時，易證：af+bf=2oe（不需證明）
（2）當正方形abcd繞點a順時針旋轉至圖2、圖3的位置時，線段af、bf、oe之間又有怎樣的關係？請直接寫出你的猜想，並選擇一種情況給予證明．
思路分析：（1）過點b作bg⊥oe於g，可得四邊形bgef是矩形，根據矩形的對邊相等可得ef=bg，bf=ge，根據正方形的對角線相等且互相垂直平分可得oa=ob，∠aob=90°，再根據同角的餘角相等求出∠aoe=∠obg，然後利用「角角邊」證明△aoe和△obg全等，根據全等三角形對應邊相等可得og=ae，oe=bg，再根據af-ef=ae，整理即可得證；
（2）選擇圖2，過點b作bg⊥oe交oe的延長線於g，可得四邊形bgef是矩形，根據矩形的對邊相等可得ef=bg，bf=ge，根據正方形的對角線相等且互相垂直平分可得oa=ob，∠aob=90°，再根據同角的餘角相等求出∠aoe=∠obg，然後利用「角角邊」證明△aoe和△obg全等，根據全等三角形對應邊相等可得og=ae，oe=bg，再根據af-ef=ae，整理即可得證；選擇圖3同理可證．
解：（1）證明：如圖，過點b作bg⊥oe於g，
則四邊形bgef是矩形，
∴ef=bg，bf=ge，
在正方形abcd中，oa=ob，∠aob=90°，
∵bg⊥oe，
∴∠obg+∠boe=90°，
又∵∠aoe+∠boe=90°，
∴∠aoe=∠obg，
∵在△aoe和△obg中，，
∴△aoe≌△obg（aas），
∴og=ae，oe=bg，
∵af-ef=ae，ef=bg=oe，ae=og=oe-ge=oe-bf，
∴af-oe=oe-bf，
∴af+bf=2oe；
（2）圖2結論：af-bf=2oe，
圖3結論：af-bf=2oe．
對圖2證明：過點b作bg⊥oe交oe的延長線於g，
則四邊形bgef是矩形，
∴ef=bg，bf=ge，
在正方形abcd中，oa=ob，∠aob=90°，
∵bg⊥oe，
∴∠obg+∠boe=90°，
又∵∠aoe+∠boe=90°，
∴∠aoe=∠obg，
∵在△aoe和△obg中，，
∴△aoe≌△obg（aas），
∴og=ae，oe=bg，
∵af-ef=ae，ef=bg=oe，ae=og=oe+ge=oe+bf，
∴af-oe=oe+bf，
∴af-bf=2oe；
若選圖3，其證明方法同上．
點評：本題考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，同角的餘角相等的性質，作輔助線構造出全等三角形與矩形是解題的關鍵，也是本題的難點．
對應訓練
4．（2013錦州）如圖1，等腰直角三角板的乙個銳角頂點與正方形abcd的頂點a重合，將此三角板繞點a旋轉，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊bc，dc於點e，f，連線ef．
（1）猜想be、ef、df三條線段之間的數量關係，並證明你的猜想；
（2）在圖1中，過點a作am⊥ef於點m，請直接寫出am和ab的數量關係；
（3）如圖2，將rt△abc沿斜邊ac翻摺得到rt△adc，e，f分別是bc，cd邊上的點，∠eaf=∠bad，連線ef，過點a作am⊥ef於點m，試猜想am與ab之間的數量關係．並證明你的猜想．
4．（1）ef=be+df，
證明：如答圖1，延長cb到q，使bq=df，連線aq，
∵四邊形abcd是正方形，
∴ad=ab，∠d=∠dab=∠abe=∠abq=90°，
在△adf和△abq中，
∴△adf≌△abq（sas），
∴aq=af，∠qab=∠daf，
∵∠dab=90°，∠fae=45°，
∴∠daf+∠bae=45°，
∴∠bae+∠baq=45°，
即∠eaq=∠fae，
在△eaq和△eaf中，
∴△eaq≌△eaf，
∴ef=bq=be+eq=be+df．
（2）解：am=ab，
理由是：∵△eaq≌△eaf，ef=bq，
∴×bq×ab=×fe×am，
∴am=ab．
（3）am=ab，
證明：如答圖2，延長cb到q，使bq=df，連線aq，
∵摺疊後b和d重合，
∴ad=ab，∠d=∠dab=∠abe=90°，∠bac=∠dac=∠bad，
在△adf和△abq中，
∴△adf≌△abq（sas），
∴aq=af，∠qab=∠daf，
∵∠fae=∠bad，
∴∠daf+∠bae=∠bae+∠baq=∠eaq=∠bad，
即∠eaq=∠fae，
在△eaq和△eaf中
∴△eaq≌△eaf，
∴ef=bq，
∵△eaq≌△eaf，ef=bq，
∴×bq×ab=×fe×am，
∴am=ab．
2023年中考數學二輪複習試卷 分式
2015年中考數學一輪精品複習試卷 分式 一 選擇題 1 如果分式有意義，則x的取值範圍是 a 全體實數b x 1c x 1d x 0 2 使代數式有意義的x的取值範圍是 3 若x 1，y 2，則的值等於 a b c d 4 如果分式的值為0，則x的值是 a 1 b 0 c 1 d 1 5 下列運算...
2023年中考數學二輪複習數學思想方法二
2014年中考數學二輪複習精品資料 方程思想 函式思想 數形結合思想 一 中考專題詮釋 數學思想方法是指對數學知識和方法形成的規律性的理性認識，是解決數學問題的根本策略。數學思想方法揭示概念 原理 規律的本質，是溝通基礎知識與能力的橋梁，是數學知識的重要組成部分。數學思想方法是數學知識在更高層次上的...
2023年中考數學二輪複習開放型問題
一 中考專題詮釋 開放型問題是相對於有明確條件和明確結論的封閉型問題而言的，它是條件或結論給定不完全 答案不唯一的一類問題 這類試題已成為近年中考的熱點，重在考查同學們分析 探索能力以及思維的發散性，但難度適中 根據其特徵大致可分為 條件開放型 結論開放型 方法開放型和編制開放型等四類 二 解題策略...