中考數學二輪綜合訓練27
直線與圓、圓與圓的位置關係
一、選擇題
1．(2010·達州)生活處處皆學問．如圖，自行車輪所在兩圓的位置關係是( )
a．外切b．內切
c．外離d．內含
答案 c
解析自行車前、後兩車輪所在兩圓沒有交點，且前車輪所在圓在後車輪所在圓的外部，故兩圓外離．
2．(2010·無錫)已知兩圓內切，它們的半徑分別為3和6，則這兩圓的圓心距d的取值滿足( )
a．d>9 b．d＝9 c．3答案 d
解析內切兩圓的圓心距d＝r－r＝6－3＝3.
3．(2010·寧波)兩圓的半徑分別為3和5，圓心距為7，則兩圓的位置關係是( )
a．內切 b．相交 c．外切 d．外離
答案 b
解析設這兩圓的圓心距為d＝7，由5－34．(2010·上海)已知圓o1、圓o2的半徑不相等，圓o1的半徑長為3，若圓o2上的點a滿足ao1＝3，則圓o1與圓o2的位置關係是( )
a．相交或相切 b．相切或相離 c．相交或內含 d．相切或內含
答案 a
解析如圖所示，當兩圓外切時，切點a能滿足ao1＝3；當兩圓內切時，切點a能滿足ao1＝3；當兩圓相交時，交點a能滿足ao1＝3.所以選擇a.
5．(2011·茂名)如圖，⊙o1、⊙o2相內切於點a，其半徑分別是8和4，將⊙o2沿直線o1o2平移至兩圓相外切時，則點o2移動的長度是( )
a．4 b．8 c．16 d．8 或16
答案 d
解析當⊙o2在⊙o1的右側時，點o2向右平移8個單位；當⊙o2在⊙o1的左側時，點o2向左平移16個單位．
二、填空題
6．(2011·蘇州)如圖，已知ab是⊙o的一條直徑，延長ab至c點，使得ac＝3bc，cd與⊙o相切，切點為d.若cd＝，則線段bc的長度等於
答案 1
解析連線od.∵cd與⊙o相切，∴od⊥cd.
∵ac＝3bc，
∴oa＝ob＝bc.
在rt△ocd中，設od＝r，則oc＝2r，r2＋()2＝(2r)2，
∴r＝1，即bc＝r＝1.
7．(2011·南充)如圖，pa、pb是⊙o是切線，a、b為切點， ac是⊙o的直徑，若∠bac＝25°，則∠p度．
答案 50
解析 ∵∠bac＝25°，oa＝ob，
∴∠aob＝180°－2×25°＝130°.
∵pa、pb是⊙o的切線，
∴oa⊥pa，ob⊥bp，
∴在四邊形aobp中，∠p＝360°－130°－90°－90°＝50°.
8．(2010·株洲)兩圓的圓心距d＝5，它們的半徑分別是一元二次方程x2－5x＋4＝0的兩個根，則這兩圓的位置關係是
答案外切
解析解方程x2－5x＋4＝0，得x1＝4，x2＝1，
∵x1＋x2＝4＋1＝5＝d，∴兩圓外切．
9．(2011·南通)已知：如圖，三個半圓彼此相外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上並與直線y＝x相切，設半圓c1、半圓c2、半圓c3的半徑分別是r1、r2、r3，則當r1＝1時，r3＝ .
答案 9
解析如上圖，設直線與三個半圓的切點分別是a、b、c，連線ac1、bc2、cc3.
∵直線y＝x，
∴∠aoc1＝30°.
在rtaoc1，ac1＝r1＝1，∴oc1＝2ac1＝2×1＝2；
在rt△boc2中，bc2＝r2，oc2＝2＋1＋r2＝3＋r2，
∵3＋r2＝2r2，∴r2＝3；
在rt△coc3中，cc3＝r3，oc3＝6＋3＋r3＝9＋r3，
∵9＋r3＝2r3，∴r3＝9.
10．(2011·衢州)木工師傅可以用角尺測量並計算出圓的半徑r.用角尺的較短邊緊靠⊙o，並使較長邊與⊙o相切於點c.假設角尺的較長邊足夠長，角尺的頂點b，較短邊ab＝8 cm.
若讀得bc長為a(cm)，則用含a的代數式表示r為
答案當0 當r>8時，r＝a2＋4
解析 ①易知，0②當r>8時，如圖．連線oc，
∵bc與⊙o相切於點c，∴oc⊥bc.
鏈結oa，過點a作ad⊥oc於點d，則abcd是矩形，即ad＝bc，cd＝ab.
在直角三角形aod中，oa2＝od2＋ad2，即：r2＝(r－8)2＋a2，整理得：r＝a2＋4.
綜上，當08時，r＝a2＋4.
三、解答題
11．(2011·烏蘭察布)如圖，在 rt△abc中，∠acb＝90°，d是ab 邊上的一點，以bd為直徑的 ⊙o與邊 ac 相切於點e，連線de並延長，與bc的延長線交於點 f .
(1)求證： bd＝bf ；
(2)若 bc＝12，ad＝8，求 bf 的長．
解 (1)證明：連線oe，
則oe⊥ac，
∴∠aeo＝90°.
∵∠acb＝90°，
∴∠cef＋∠f＝90°.
∵∠aed＋∠oed＝90°，
∠aed＝∠cef，
∴∠oed＝∠f.
又∵od＝oe，
∴∠oed＝∠ode，
∴∠ode＝∠f，
∴bd＝bf.
(2)解：rt△abc和rt△aoe中，∠a是公共角，
∴rt△abc ∽rt△aoe，
∴＝.設⊙o的半徑是r，則有＝，
解得r＝8，∴bf＝bd＝16.
12．(2011·泰州)如圖，以點o為圓心的兩個同心圓中，矩形abcd的邊bc為大圓的弦，邊ad與小圓相切於點m，om的延長線與bc相交於點n.
(1)點n是線段bc的中點嗎？為什麼？
(2)若圓環的寬度(兩圓半徑之差)為6 cm，ab＝5 cm，bc＝10 cm，求小圓的半徑．
解 (1)n是bc的中點．理由如下：
∵ad與小圓相切於點m，∴om⊥ad.
又∵ad∥bc，∴on⊥bc，
∴在大圓o中，由垂徑定理可得n是bc的中點．
(2)連線ob，設小圓半徑為r，則有on＝r＋5，ob＝r＋6，bn＝5 cm，
在rt△obn中，由勾股定理，得ob2＝bn2＋on2 ，
即：(r＋6)2＝(r＋5)2＋52 ，解得r＝7 cm.
∴小圓的半徑為7 cm.
13．(2011·義烏)如圖，已知⊙o的直徑ab與弦cd互相垂直，垂足為點e. ⊙o的切線bf與弦ad的延長線相交於點f，且ad＝3，cos∠bcd＝.
(1)求證：cd∥bf；
(2)求⊙o的半徑；
(3)求弦cd的長.
解 (1)∵bf是⊙o的切線，∴ab⊥bf .
∵ab⊥cd，∴cd∥bf.
(2)連線bd.
∵ab是直徑，∴∠adb＝90°.
∵∠bcd＝∠bad，cos∠bcd＝，
∴cos∠bad＝＝.
又∵ad＝3，∴ab＝4.
∴⊙o的半徑為2.
(3)∵cos∠dae＝＝，ad＝3，∴ae＝.
∴ed＝＝.
∴cd＝2ed＝.
14．(2010·莆田)如圖，a、b是⊙o上的兩點，∠aob＝120°，點d為劣弧的中點．
(1)求證：四邊形aobd是菱形；
(2)延長線段bo至點p，交⊙o於另一點c，且bp＝3ob，求證：ap是⊙o的切線．
解證明：(1)連線od.
∵d是劣弧的中點，∠aob＝120°，
∴∠aod＝∠dob＝60°.
又∵oa＝od，od＝ob，
∴△aod和△dob都是等邊三角形．
∴ad＝ao＝ob＝bd.
∴四邊形aobd是菱形．
(2)連線ac.
∵bp＝3ob，oa＝oc＝ob，
∴pc＝oc＝oa.
∵∠aob＝120°.
∴∠aoc＝60°.
∴△oac為等邊三角形．
∴pc＝ac＝oc.
∴∠cap＝∠cpa.
又∵∠aco＝∠cpa＋∠cap，
∴∠cap＝30°，
∴∠pao＝∠oac＋∠cap＝90°，∴pa⊥ao.
又∵oa是半徑，
∴ap是⊙o的切線．
15．(2011·南京)如圖，在rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝6 cm，bc＝8 cm，p為bc的中點．動點q從點p出發，沿射線pc方向以2 cm/s的速度運動，以p為圓心，pq長為半徑作圓．設點q運動的時間為t (s)．
(1)當t＝1.2時，判斷直線ab與⊙p的位置關係，並說明理由；
(2)已知⊙o為△abc的外接圓，若⊙p與⊙o相切，求t的值．
解 (1)直線ab與⊙p相切．理由如下：
如圖，過點p作pd⊥ab, 垂足為d.
在rt△abc中，∠acb＝90°，∵ac＝6 cm，bc＝8 cm，∴ab＝
＝10 cm.
∵p為bc的中點，∴pb＝4 cm.
∵∠pdb＝∠acb＝90°，∠pbd＝∠abc.
∴△pbd∽△abc.
∴＝，即＝，∴pd＝2.4cm.
當t＝1.2時，pq＝2t＝2.4cm.
∴pd＝pq，即圓心p到直線ab的距離等於⊙p的半徑.
∴直線ab與⊙p相切．
(2)∵∠acb＝90°，∴ab為△abc的外切圓的直徑．
∴ob＝ab＝5 cm.
連線op.∵p為bc的中點，∴op＝ac＝3 cm.
∵點p在⊙o內部，∴⊙p與⊙o只能內切.
∴5－2t＝3或2t－5＝3，∴t＝1或4.
∴⊙p與⊙o相切時，t的值為1或4.
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