猜想證明問題考點精講
一、考綱要求
1. 掌握好代數和幾何基礎知識，理解相關的定義、定理、法則、性質、判定，並會靈活運用；
2. 經歷猜想、證明與拓展的過程，增強問題意識和自主探索意識，獲得探索與發現的體驗；
3. 在解決問題的過程中綜合運用所學的知識，體會知識之間的內在聯絡，形成對數學的整體性認識。
二、考題規律
猜想證明類試題的考查範圍有猜想命題的規律或結論（不要求證明）與猜想命題的結論（要求證明）兩種。單純猜想規律或結論的問題經常以填空、選擇的形式作為壓軸題，解題時要善於從所提供的數字或圖形資訊中，尋找存在於個例中的共性，也就是規律。相對而言，猜想命題的結論（要求證明）的試題難度較大，解答具體題目時往往是直觀猜想與科學論證、具體應用相結合。
三、考向**
縱觀近幾年的中考數學壓軸題，可以發現猜想證明類試題出現的頻率日益增高。因為此類試題能比較系統地考查學生的邏輯推理能力、合情推理能力、發現規律和關係的能力，以及運用所學知識和方法分析、解決數學問題的能力，對於猜想證明類試題，由於題目新穎、綜合性強、結構獨特，具有較好的區分度，因此，該類試題已逐步成為中考的一大熱點題型。
考點1：數式類歸納猜想問題
通常給定一些數字、代數式、等式或者不等式，要求學生猜想其中蘊含的規律。一般解法是先寫出數式的基本結構，然後通過橫比（比較同一等式中不同部分的數量關係）或縱比（比較不同等式間相同位置的數量關係）找出各部分的特徵，改寫成要求的格式。
示例：（畢節地區）觀察下列一組數：，…，它們是按一定規律排列的，那麼這一組數的第n個數是
思路分析：觀察已知一組數發現：分子為從1開始的連續奇數，分母為從2開始的連續正整數的平方，寫出第n個數即可。
答案：根據題意得：這一組數的第n個數是。
技巧點撥：此題是數式規律的猜想問題，弄清題中的規律是解答本題的關鍵。
考點2：圖案類歸納猜想問題
根據一組相關圖形的變化規律，通過圖形的變化總結所反映的規律。其中，以圖形為載體的數字規律最為常見。猜想這種規律，需要把圖形中的有關數量關係列式表達出來，再對所列式進行對照，仿照猜想數式規律的方法得到最終結論。
示例：下面三個圖是由若干盆花組成形如三角形的圖案，每條邊（包括頂點）有n（n>1）盆花，每個圖案花盆總數為s，按此規律推斷，s與n的關係式是
思路分析：題目給出了「每條邊（包括頂點）有n（n>1）盆花」，而三角形有三條邊，因此，三條邊上的花盆數量為3n，但每個頂點上的花盆用了兩次，必須減去。所以s＝3n－3。
答案：s＝3n－3
技巧點撥：對於圖案類歸納猜想問題，先通過圖案的位置關係轉化為數量關係，再通過數量關係總結規律解題。
考點3：數量關係類歸納猜想問題
數量關係的表現形式多種多樣，這些關係不一定就是我們目前所學習的函式關係式。在猜想這種問題時，通常也是根據題目給出的關係式進行模擬，如果涉及幾何圖形，應將幾何圖形中的線段之間的長度關係、角之間的和差關係、面積關係、周長關係等用式子表示出來，仿照猜想數式規律的方法解答。
示例：某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：設∠bac＝θ（0°＜θ＜90°），現把小棒依次擺放在兩射線ab、ac之間，並使小棒兩端分別落在兩射線上。
活動一：如圖所示，從點a1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點處互相垂直，a1a2為第1根小棒。
數學思考：
（1）小棒能無限擺下去嗎？答填「能」或「不能」）
（2）設aa1＝a1a2＝a2a3＝1，
度；②若記小棒a2n－1a2n的長度為an（n為正整數，如a1a2＝a1，a3a4＝a2），求此時a2、a3的值，並直接寫出an（用含n的式子表示）。
活動二：
如圖所示，從點a1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中a1a2為第1根小棒，且a1a2＝aa1。
數學思考：
（3）若已經向右擺放了3根小棒，則用含的式子表示）
（4）若只能擺放4根小棒，求的範圍。
思路分析：根據等腰三角形的兩底角相等和三角形的外角與內角的關係總結歸納規律。
答案：（1）顯而易見，能。
（2）①22.5；②∵aa1＝a1a2＝a2a3＝1，a1a2⊥a2a3，∴a1a3＝，aa3＝1＋。又∵a2a3⊥a3a4，∴a1a2∥a3a4。
同理，a3a4∥a5a6，∴∠a＝∠aa2a1＝∠aa4a3＝∠aa6a5，∴aa3＝a3a4，aa5＝a5a6，∴a2＝a3a4＝aa3＝1＋，a3＝aa3＋a3a5＝a2＋a3a5。∵a3a5＝a2，∴a3＝a5a6＝aa5＝a2＋a2＝（＋1）2。…，an＝（＋1）n－1。
（3）θ1＝2θ，θ2＝∠a＋∠aa3a2＝θ＋θ1＝3θ，θ3＝∠a＋∠aa4a3＝θ＋θ2＝4θ。
（4）由題意得，∴18°≤θ＜22.5°。
技巧點撥：這是一道典型的歸納猜想型問題，以物理學中反射的知識作為命題載體，而三角形外角等於不相鄰的兩個內角和，是解決問題的主幹數學知識。
猜想證明問題典例精析
例題1 下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規律組成，其中，第①個圖形中一共有1個平行四邊形，第②個圖形中一共有5個平行四邊形，第③個圖形中一共有11個平行四邊形，……，則第⑥個圖形中平行四邊形的個數為（ ）個
a. 55 b. 42 c. 41 d. 29
思路分析：由於圖②5個＝1＋2＋2，圖③11個＝1＋2＋3＋2＋3，圖④19＝1＋2＋3＋4＋2＋3＋4，由此即可得到第⑥個圖形中平行四邊形的個數。注意本題中的平行四邊形包括由多個圖①組成的平行四邊形。
答案：∵圖②平行四邊形有5個＝1＋2＋2，圖③平行四邊形有11個＝1＋2＋3＋2＋3，圖④平行四邊形有19＝1＋2＋3＋4＋2＋3＋4，∴圖⑥的平行四邊形的個數為1＋2＋3＋4＋5＋6＋2＋3＋4＋5＋6＝41。故選c。
技巧點撥：本題是規律的歸納題，解決本題的關鍵是讀懂題意，歸納出規律，然後套用題目提供的對應關係解決問題，具有一定的區分度。根據圖形進行數字猜想的問題，關鍵是通過歸納與總結，得到其中的規律，然後利用規律解決一般問題。
例題2 （1）如下表：方程1，方程2，方程3，……，是按照一定規律排列的一列方程，解方程1，並將它的解填在表中的空白處：
（2）若方程（a＞b）的解是x1＝6，x2＝10，求a、b的值，該方程是不是（1）中所給出的一列方程中的乙個方程？如果是，它是第幾個方程？
（3）請寫出這列方程中的第n個方程和它的解，並驗證所寫出的解適合第n個方程。
思路分析：通過解方程不難求出：x1＝3，x2＝4，將，代入方程易求a和b的值，要求第n個方程和它的解，需根據前幾個方程總結規律。
答案：（1）解方程得，x1＝3，x2＝4；
（2）將，代入方程（a＞b），易求得a＝12，b＝5；
（3）第n個方程是：，它的解是：。
技巧點撥：本題較難的是寫出第n個方程和它的解，解決難點的關鍵是觀察**中方程和它們的解的排列規律，特別是每個變化的數與序號的關係。
例題 （1）計算：如圖①，直徑為a的三等圓⊙o1、⊙o2、⊙o3兩兩外切，切點分別為a、b、c，求o1a的長（用含a的代數式表示）。
（2）探索：若干個直徑為a的圓圈分別按如圖②所示的方案一和如圖③所示的方案二的方式排放，探索並求出這兩種方案中n層圓圈的高度hn和（用含n、a的代數式表示）。
（3）應用：現有長方體貨櫃，其內部空間長為5公尺，寬為3.1公尺，高為3.
1公尺。用這樣的貨櫃裝運長為5公尺，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1公尺的圓柱形鋼管，你認為採用（2）中的哪種方案在該貨櫃中裝運鋼管數最多？
並求出乙個這樣的貨櫃最多能裝運多少根鋼管？（≈1.73）
思路分析：（1）根據等邊三角形的性質以及勾股定理進行求解；（2）n個圓的直徑即為②中的高，根據等邊三角形的性質和勾股定理進行計算③中的高；（3）結合上述結論進行分析。
答案：（1）∵⊙o1、⊙o2、⊙o3兩兩外切，∴o1o2＝o2o3＝o1o3＝a，又∵o2a＝o3a，∴o1a⊥o2o3，∴o1a＝＝；
（2）hn＝na，＝＋a；
（3）方案二裝運鋼管最多。即：按圖③的方式排放鋼管，放置根數最多。
根據題意，第一層排放31根，第二層排放30根，設鋼管的放置層數為n，可得（n－1）×0.1＋0.1≤3.
1，解得n≤35.68，∵n為正整數，∴n＝35，鋼管放置的最多根數為：31×18＋30×17＝1068（根）。
技巧點撥：本題綜合性較強，主要考查的知識包括：圓的相關性質、等邊三角形的性質、勾股定理等。
猜想證明問題提分寶典
歸納法解決猜想證明問題
歸納法是由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法。歸納法分為不完全歸納法與完全歸納法，數學歸納法是「完全歸納」的一種科學方法，對於無窮盡的事例，常用不完全歸納法去發現規律，得出結論，並設法予以證明，這就是「歸納—猜想—證明」的思想方法，數學歸納法是完全歸納法的一種，是嚴謹的數學證明。
例題1 （安徽）觀察下列關於自然數的等式：
32－4×12＝5 ①
52－4×22＝9 ②
72－4×32＝13 ③
……根據上述規律解決下列問題：
（1）完成第四個等式：92－42
（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），並驗證其正確性。
思路分析：由①②③三個等式可得，被減數是從3開始連續奇數的平方，減數是從1開始連續自然數的平方的4倍，計算的結果是被減數的底數的2倍減1，由此規律得出答案即可。
答案：（1）第四個等式：92－4×42＝17；（2）第n個等式為：
（2n＋1）2－4n2＝2（2n＋1）－1，左邊＝（2n＋1）2－4n2＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1，右邊＝2（2n＋1）－1＝4n＋2－1＝4n＋1，左邊＝右邊，∴（2n＋1）2－4n2＝2（2n＋1）－1。
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