方案設計型
考點：一次方程、方程組、分式方程、不等式組、一次函式、二次函式、
1．某商店準備購進甲、乙兩種商品．已知甲商品每件進價15元，售價20元；乙商品每件進價35元，售價45元．
(1)若該商店同時購進甲、乙兩種商品共100件，恰好用去2 700元，求購進甲、乙兩種商品各多少件？
(2)若該商店準備用不超過3 100元購進甲、乙兩種商品共100件，且這兩種商品全部售出後獲利不少於890元，問應該怎樣進貨，才能使總利潤最大，最大利潤是多少(利潤＝售價－進價)?
解：(1)設購進甲種商品x件，購進乙種商品y件，
根據題意，得
解得：答：商店購進甲種商品40件，購進乙種商品60件．
(2)設商店購進甲種商品a件，則購進乙種商品(100－a)件，
根據題意列，得
解得20≤a≤22.
∵總利潤w＝5a＋10(100－a)＝－5a＋1 000，w是關於x的一次函式，w隨x的增大而減小，
∴當x＝20時，w有最大值，此時w＝900，且100－20＝80，
答：應購進甲種商品20件，乙種商品80件，才能使總利潤最大，最大利潤為900元．
2．今年，號稱「千湖之省」的湖北正遭受大旱，為提高學生環保意識，節約用水，某校數學教師編造了一道應用題：為了保護水資源，某市制定一套節水的管理措施，其中對居民生活用水收費作如下規定：
(1)若某使用者六月份的用水量為18噸，求其應繳納的水費；
(2)記該使用者六月份的用水量為x噸，繳納水費y元，試列出y關於x的函式式；
(3)若該使用者六月份的用水量為40噸，繳納水費y元的取值範圍為70≤y≤90，試求m的取值範圍．
解：(1)應繳納水費：10×1.5＋(18－10)×2＝31(元)．
(2)當0≤x≤10時，y＝1.5x；
當10當x>m時，y＝15＋2(m－10)＋3(x－m)＝3x－m－5.
∴y＝(3)當40≤m≤50時，y＝2×40－5＝75(元)，滿足．
當20≤m<40時，y＝3×40－m－5＝115－m，
則70≤115－m≤90，∴25≤m≤45，即25≤m≤40.
綜上得，25≤m≤50.
3．潼南綠色無公害蔬菜基地有甲、乙兩種植戶，他們種植了a，b兩類蔬菜，兩種植戶種植的兩類蔬菜的種植面積與總收入如下表：
說明：不同種植戶種植的同類蔬菜每畝的平均收入相等；畝為土地面積單位．
(1)求a，b兩類蔬菜每畝的平均收入各是多少元；
(2)某種植戶準備租20畝地用來種植a，b兩類蔬菜，為了使總收入不低於63 000元，且種植a類蔬菜的面積多於種植b類蔬菜的面積(兩類蔬菜的種植面積均為整數)，求該種植戶所有的租地方案．
解：(1)設a，b兩類蔬菜每畝平均收入分別是x元，y元．
由題意，得解得
答：a，b兩類蔬菜每畝平均收入分別是3 000元，3 500元．
(2)設用來種植a類蔬菜的面積為a畝，則用來種植b類蔬菜的面積為(20－a)畝．
由題意，得解得10＜a≤14.
∵a取整數，為：11,12,13,14.
∴租地方案為：
4.某學校計畫將校園內形狀為銳角△abc的空地（如圖）進行改造，將它分割成△ahg、△bhe、△cgf和矩形efgh四部分，且矩形efgh作為停車場，經測量bc=120m，高ad=80m，
（1）若學校計畫在△ahg上種草，在△bhe、△cgf上都種花，如何設計矩形的長、寬，使得種草的面積與種花的面積相等？
（2）若種草的投資是每平方公尺6元，種花的投資是每平方公尺10元，停車場鋪地磚投資是每平方公尺4元，又如何設計矩形的長、寬，使得△abc空地改造投資最小？最小為多少?
解、（1）設fg=x公尺，則ak=(80－x)公尺
由△ahg∽△abcbc=120，ad=80可得： ∴
be+fc=120－= ∴ 解得x=40
∴當fg的長為40公尺時，種草的面積和種花的面積相等。
（2）設改造後的總投資為w元
w==6(x－20)2+26400
∴當x=20時,w最小=36400
答:當矩形efgh的邊fg長為20公尺時，空地改造的總投資最小，最小值為26400元。
5.我州鼓苦蕎茶、青花椒、野生蘑菇，為了讓這些珍寶走出大山，走向世界，州**決定組織21輛汽車裝運這三種土特產共120噸，參加全國農產品博覽會.現有a型、b型、c型三種汽車可供選擇.
已知每種型號汽車可同時裝運2種土特產，且每輛車必須裝滿.根據下表資訊，解答問題.
（1）設a型汽車安排輛，b 型汽車安排輛，求與之間的函式關係式.
（2）如果三種型號的汽車都不少於4輛，車輛安排有幾種方案？並寫出每種方案.
（3）為節約運費，應採用（2）中哪種方案？並求出最少運費.
解：（1）法①根據題意得化簡得：
（2）由得 ，解得 .
∵為正整數，∴.故車輛安排有三種方案，即：
方案一：型車輛，型車輛，型車輛
方案二：型車輛，型車輛，型車輛
方案三：型車輛，型車輛，型車輛
（3）設總運費為元，則
隨的增大而增大，且
當時，元
答：為節約運費，應採用 ⑵中方案一，最少運費為37100元。
6.為建立「國家衛生城市」，進一步優化市中心城區的環境，德州市**擬對部分路段的行人路地磚、花池、排水管道等公用設施全面更新改造，根據市政建設的需要，須在60天內完成工程．現在甲、乙兩個工程隊有能力承包這個工程．經調查知道：乙隊單獨完成此項工程的時間比甲隊單獨完成多用25天，甲、乙兩隊合作完成工程需要30天，甲隊每天的工程費用2500元，乙隊每天的工程費用2000元．
（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成各需多少天？
（2）請你設計一種符合要求的施工方案，並求出所需的工程費用．
解：（1）設甲工程隊單獨完成該工程需x天，則乙工程隊單獨完成該工程需（x+25）天．
根據題意得：．
方程兩邊同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），即x2﹣35x﹣750=0．解之，得x1=50，x2=﹣15．
經檢驗，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解．
但x2=﹣15不符合題意，應捨去．∴當x=50時，x+25=75．
答：甲工程隊單獨完成該工程需50天，則乙工程隊單獨完成該工程需75天．
（2）此問題只要設計出符合條件的一種方案即可．
方案一：由甲工程隊單獨完成． 所需費用為：2500×50=125000（元）．
方案二：由甲乙兩隊合作完成．所需費用為：（2500+2000）×30=135000（元）．
7. 「五一」期間，為了滿足廣大人民的消費需求，某商店計畫用160000元購進一批家電，這批家電的進價和售價如下表：
（1）、若全部資金用來購買彩電和洗衣機共100臺，問商店可以購買彩電和洗衣機各多少臺?
(2)、若在現有資金160000元允許的範圍內，購買上表中三類家電共100臺，其中彩電台數和冰箱台數相同，且購買洗衣機的台數不超過購買彩電的台數，請你算一算有幾種進貨方案？哪種進貨方案能使商店銷售完這批家電後獲得的利潤最大？並求出最大利潤。
（利潤=售價-進價）
解：（1）設商店購買彩電x臺，則購買洗衣機（100﹣x）臺．
由題意，得2000x+1000（100﹣x）=160000，解得x=60，則100﹣x=40（臺），
所以，商店可以購買彩電60臺，洗衣機40臺．
（2）設購買彩電和冰箱各a臺，則購買洗衣機為（100﹣2a）臺．
根據題意，得解得．
因為a是整數，所以a=34、35、36、37．
因此，共有四種進貨方案．
設商店銷售完畢後獲得的利潤為w元，
則w=（2200﹣2000）a+（1800﹣1600）a+（1100﹣1000）（100﹣2a）=200a+10000，
∵200＞0，∴w隨a的增大而增大，
∴當a=37時，=200×37+10000=17400，
所以，商店獲得的最大利潤為17400元．
8.某商場經營某種品牌的童裝，購進時的單價是60元．根據市場調查，在一段時間內，銷售單價是80元時，銷售量是200件，而銷售單價每降低1元，就可多售出20件．
（1）寫出銷售量y件與銷售單價x元之間的函式關係式；
（2）寫出銷售該品牌童裝獲得的利潤w元與銷售單價x元之間的函式關係式；
（3）若童裝廠規定該品牌童裝銷售單價不低於76元，且商場要完成不少於240件的銷售任務，則商場銷售該品牌童裝獲得的最大利潤是多少？
解：（1）根據題意得，y=200+（80﹣x）×20=﹣20x+1800，
所以銷售量y件與銷售單價x元之間的函式關係式為y=﹣20x+1800；
（2）w=（x﹣60）y=（x﹣60）（﹣20x+1800）=﹣20x2+3000x﹣108000，
所以銷售該品牌童裝獲得的利潤w元與銷售單價x元之間的函式關係式y=﹣20x2+3000x﹣108000；
（3）根據題意得，﹣20x+1800≥240， x≥76， ∴76≤x≤78，
w=﹣20x2+3000x﹣108000，
對稱軸為x=﹣=75，a=﹣20＜0，
∴當76≤x≤78時，w隨x的增大而減小，
∴x=76時，w有最大值，最大值=（76﹣60）（﹣20×76+1800）=4480（元）．
所以商場銷售該品牌童裝獲得的最大利潤是4480元．
9.在眉山市開展城鄉綜合治理的活動中，需要將a、b、c三地的垃圾50立方公尺、40立方公尺、50立方公尺全部運往垃圾處理場d、e兩地進行處理．已知運往d地的數量比運往e地的數量的2倍少10立方公尺．
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