推理與證明
【專題要點】
1.歸納推理:主要應用於先由已知條件歸納出乙個結論,並加以證明或以推理作為題目的已知條件給出猜測的結論,並要求考生會應用或加以證明.
2.模擬推理:通過兩類事物的相似性或一致性,用一類事物的性質去推測另一類事物的性質,得出乙個明確的結論.常見的有結論模擬和方法模擬.高考資源網
3.演繹推理
4.證明
①綜合法和分析法:會用這兩種方法證明具體問題;
②反證法近幾年高考中加大了其考察力度.
③數學歸納法.在有關正整數的問題證明時常用數學歸納法進行證明.
【考綱要求】
1合情推理與演繹推理高考資源網
① 了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用.
② 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理.
③ 了解合情推理和演繹推理之間的聯絡和差異.
2直接證明與間接證明
① 了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.
② 了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點.
3數學歸納法
了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.
【知識縱橫】
【教法指引】
高考的「推理與證明」一般不單獨設題，主要和其他知識結合在一起，屬於綜合題，可以綜合在諸如立體幾何、解析幾何、數列、函式、不等式等內容中，既有計算又有證明，解決此類題目時，一定要建立合理的解題思路，對典型的證明方法一定要掌握
在「推理與證明」的內容中，「合情推理」是一種重要的歸納，主要從已知條件歸納出乙個結論，可以是形式上的歸納，也可以是數學性質的歸納，一般以客觀題的形式出現；演繹推理則是邏輯思維能力的乙個重要體現，試題中考查該部分內容的比例較大，命題時既可以使用選擇題、填空題的形式，又可以在解答題型中，以證明題的形式進行考查，立體幾何是考查「演繹推理」的最好教材高考資源網
「直接證明和間接證明」在高考中一般也不會直接命題，仍然是以其他知識為載體，在考查其他知識的同時，考查本部分內容，是每年高考的考查重點，幾乎涉及數學的各方面知識，代表著研究性命題的發展趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及。該部分命題的方向主要在函式、三角恒等變換、數列、立體幾何、解析幾何等方面，主要以考查「直接證明」中的綜合法為主。高考資源網
由於「數學歸納法」僅限於與自然數有關的命題，故單獨命題的可能性不大，多數以數列及不等式為載體來綜合考查。高考常見的題型有：證明等式問題、證明不等式問題、證明整除問題和解決數列中的**性問題等，但不排除在客觀題中考查數學歸納法的原理和證明步驟
【典例精析】
1. 考查模擬推理
例1(2023年全國卷）在平面幾何裡，由勾股定理：「設的兩邊互相垂直，則」，拓展到空間，模擬平面幾何勾股定理，可以得到的正確的結論是：「設三稜錐的三個側面兩兩互相垂直，則
解：如圖，作，垂足為，連線．由三個側面兩兩相互垂直可知．在中，，得，又；；．
所以．點評:這道題目考察的是平面到空間的推廣模擬．解答這類題目不能只滿足結論形式上的相似，還必須是真命題，結論的推導還是要從平面結論下手，一般在推導空間的結論時要用到平面的結論，或利用類似平面結論推導的方法，如等面積法模擬等體積，直線模擬作平面等．
例2(2023年浙江卷理科第15題)觀察下列等式：高考資源網
，，，，高考資源網
………由以上等式推測到乙個一般的結論：
對於w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：
【解析】這是一種需模擬推理方法破解的問題，結論由二項構成，第二項前有，二項指數分別為，因此對於
2.考查歸納推理
例3(2023年福建卷理科第16題) 五位同學圍成一圈依序迴圈報數，規定：
①第一位同學首次報出的數為1.第二位同學首次報出的數也為1，之後每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；
②若報出的是為3的倍數，則報該數的同學需拍手一次，
當第30個數被報出時，五位同學拍手的總次數為高考資源網
答案：7次
【解析】這樣得到的數列這是歷史上著名的數列，叫斐波那契數列.尋找規律是解決問題的根本，否則，費時費力.首先求出這個數列的每一項除以3所得餘數的變化規律，再求所求就比較簡單了.
這個數列的變化規律是：從第三個數開始遞增，且是前兩項之和，那麼有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分別除以3得餘數分別是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可見餘數的變化規律是按1、1、2、0、2、2、1、0迴圈，週期是8.在這乙個週期內第四個數和第八個數都是3的倍數，所以在三個週期內共有6個報出的數是三的倍數，後面6個報出的數中餘數是1、1、2、0、2、2，只有乙個是3的倍數，故3的倍數總共有7個，也就是說拍手的總次數為7次.
例4(2008湖北，15）觀察下列等式：
可以推測，當x≥2（k∈n*）時
ak-2
解析：高考資源網
。例5 (2023年江蘇10)．將全體正整數排成乙個三角形數陣：
按照以上排列的規律，第行（）從左向右的第3個數為
【解析】本小題考查歸納推理和等差數列求和公式．前n－1 行共有正整數1＋2＋…＋（n－1）個，即個，因此第n 行第3 個數是全體正整數中第＋3個，即為．
【答案】高考資源網
3.證明
例6（2008江蘇卷21）設a，b，c為正實數，求證：．
證明：因為為正實數，由平均不等式可得
即所以，而所以4反證法
反證法是屬於「間接證明法」一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而匯出矛盾推理而得。反證法就是從否定命題的結論入手，並把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明高考資源網
例7已知，，求證：不能同時大於。
證法一：假設三式同時大於，即，，
，三式同向相乘得，又同理，
，這與假設矛盾，故原命題得證。
證法二：假設三式同時大於，，
同理三式相加得，這是矛盾的，故假設錯誤，所以原命題正確
點評：「不能同時大於」包含多種情形，不易直接證明，可用反證法證明。即正難則反
（1）當遇到否定性、唯一性、無限性、至多、至少、等型別問題時，常用反證法。
（2）用反證法的步驟是：①否定結論②而不合理
③因此結論不能否定，結論成立高考資源網
5數學歸納法
數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是乙個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n )時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定「對任何自然數（或n≥n 且n∈n）結論都正確」。
由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬於完全歸納
運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題。
運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等高考資源網
例8（2007上海文、理）設是定義在正整數集上的函式，且滿足：「當成立時，總可推出成立」． 那麼，下列命題總成立的是（ d ）
ａ．若成立，則成立
ｂ．若成立，則成立
ｃ．若成立，則當時，均有成立
ｄ．若成立，則當時，均有成立
【答案】d
【解析】 對a，當k=1或2時，不一定有成立；對b，應有成立；
對c，只能得出：對於任意的，均有成立，不能得出：任意的，均有成立；對d，對於任意的，均有成立。故選d。
例9設數列滿足為實數
證明：對任意成立的充分必要條件是；
證明(1) 必要性 ： ，高考資源網
又 ，即
充分性 ：設 ，對用數學歸納法證明
當時，.假設高考資源網
則，且，由數學歸納法知對所有成立
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
高考數學第二輪專題複習教案推理與證明
第23課時推理與證明 一 基礎練習 1 設平面內有n條直線 n 3 其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點，f n 表示這n條直線交點的個數，則f 4當n 4時，f n用n表示 2 由圖 1 有面積關係 則由圖 2 有體積關係 3 用反證法證明 形如4k 3 k n 的數不能化為兩個整...
高三數學高考二輪複習跟蹤測試推理與證明
2010屆高考二輪複習跟蹤測試 推理與證明 數學試卷 注意事項 1.本卷共150分，考試時間100分 2.題型難度 難度適中 3.考察範圍 推理與證明 4.試題型別 選擇題10道，填空題4道，簡答題6道。5.含有詳細的參 6.試卷型別 高考二輪複習專題訓練 一 選擇題 1.平面內有4個圓和1條拋物線...
高三數學理科二輪複習1 5 14推理與證明
高考專題訓練十四推理與證明 班級 姓名 時間 45分鐘分值 75分總得分 一 選擇題 本大題共6小題，每小題5分，共30分 在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項填在答題卡上 1.依次寫出數列a1 1，a2，a3，an n n 的法則如下 如果an 2為自然數且未寫過，則寫an 1 an ...