【史上最全的】2023年中考數學真題解析
課題研究（實踐操作）
解答題1. （2011江蘇連雲港，28，12分）某課題研究小組就圖形面積問題進行專題研究，他們發現如下結論：
（1）有一條邊對應相等的兩個三角形的面積之比等於這條邊上的對應高之比；
（2）有乙個角應相等的兩個三角形的面積之比等於夾這個角的兩邊乘積之比；
…現請你根據對下面問題進行**，**過程可直接應用上述結論.(s表示面積)
問題1：如圖1，現有一塊三角形紙板abc，p1，p2三等分邊ab，r1，r2三等分ac.經**s四邊形p1r1
r2r2=s△abc，請證明.
問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的△abc拼合成四邊形abcd，如圖2，q1，q2三等分邊dc.請**s四邊形p1q1q2p2與s四邊形abcd之間的數量關係.
問題3：如圖3，p1，p2,p3,p4五等分邊ab，q1，q2,q3，q4五等分邊dc.若s四邊形abcd=1，求s四邊形p2q2q3p3.
問題4：如圖4，p1，p2,p3四等分邊ab，q1，q2,q3四等分邊dc，p1q1，p2q2,p3q3將四邊形abcd分成四個部分，面積分別為s1，s2，s3,s4.請直接寫出含有s1，s2，s3,s4的乙個等式.
考點：三角形的面積。
分析：問題1，圖1中，連線p1r2，r2b，由三角形中線的性質得s△ap1r1=s△p1r1r2，s△p1r2p2=s△p2r2b，再由r1，r2為ac的三等分點，得s△bcr2=s△abr2，根據圖形的面積關係，得s△abc與s四邊形p1p2r2r1的數量關係，證明結論；
問題2，圖2中，連線aq1，q1p2，p2c，由三角形的中線性質，得s△aq1p1=s△p1q1p2，s△p2q1q2=s△p2q2c，由q1，p2為cd，ab的三等分點可知，s△adq1=s△aq1c，s△bcp2=s△ap2c，得出s△adq1+s△bcp2與s四邊形aq1cp2的關係，再根據圖形的面積關係，得s四邊形abcd與s四邊形p1q1q2p2的等量關係；
問題3，圖3中，依次設四邊形的面積為s1，s2，s3，s4，s5，由問題2的結論可推出2s2=s1+s3，2s3=s2+s4，2s4=s3+s5，三式相加，得s2+s4=s1+s5，利用換元法求s1+s2+s3+s4+s5與s3的數量關係，已知s四邊形abcd=1，可求s四邊形p2q2q3p3；
問題4，圖4中，由問題2的結論可知，2s2=s1+s3，2s3=s2+s4，兩式相加得s1，s2，s3，s4的等量關係．
解答：解：問題1，證明：
如圖1，連線p1r2，r2b，在△ap1r2中，∵p1r為中線，∴s△ap1r1=s△p1r1r2，
同理s△p1r2p2=s△p2r2b，
∴s△p1r1r2+s△p1r2p2=s△abr2=s△四邊形p1p2r2r1，
由r1，r2為ac的三等分點可知，s△bcr2=s△abr2，
∴s△abc=s△bcr2+s△abr2=s四邊形p1p2r2r1+2s四邊形p1p2r2r1=3s四邊形p1p2r2r1，
∴s四邊形p1p2r2r1=s△abc；
問題2，s四邊形abcd=3s四邊形p1q1q2p2．
理由：如圖2，連線aq1，q1p2，p2c，在△aq1p2中，∵q1p1為中線，
∴s△aq1p1=s△p1q1p2，同理s△p2q1q2=s△p2q2c，
∴s△p1q1p2+s△p2q1q2=s四邊形aq1cp2=s四邊形p1q1q2p2，
由q1，p2為cd，ab的三等分點可知，s△adq1=s△aq1c，s△bcp2=s△ap2c，
∴s△adq1+s△bcp2=（s△aq1c+s△ap2c）=s四邊形aq1cp2，
∴s四邊形abcd=s△adc+s△abc=s四邊形aq1cp2+s△adq1+s△bcp2=3s四邊形p1q1q2p2，
即s四邊形abcd=3s四邊形p1q1q2p2；
問題3，解：
如圖3，由問題2的結論可知，3s2=s1+s2+s3，即2s2=s1+s3，同理得2s3=s2+s4，2s4=s3+s5，
三式相加得，s2+s4=s1+s5，
∴s1+s2+s3+s4+s5=2（s2+s4）+s3=2×2s3+s3=5s3，
即s四邊形p2q2q3p3=s四邊形abcd=；
問題4，如圖4，關係式為：s2+s3=s1+s4．
點評：本題考查了三角形面積問題．關鍵是利用三角形的中線把三角形分為面積相等的兩個三角形的性質進行推理．
2. （2011江蘇南京，28，11分）【問題情境】
已知矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？
【數學模型】
設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函式關係式為y=2（x+）（x＞0）．
【探索研究】
（1）我們可以借鑑以前研究函式的經驗，先探索函式y=x+（x＞0）的圖象和性質．
①填寫下表，畫出函式的圖象；
②觀察圖象，寫出該函式兩條不同型別的性質；
③在求二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函式y=x+（x＞0）的最小值．
【解決問題】
（2）用上述方法解決「問題情境」中的問題，直接寫出答案．
考點：反比例函式的性質；完全平方公式；配方法的應用；一次函式的性質；二次函式的最值。
專題：計算題。
分析：（1）①把x的值代入解析式計算即可；②根據圖象所反映的特點寫出即可；③根據完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，進行配方即可得到最小值；
（2）根據完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，進行配方得到y=2[+2]，即可求出答案．
解答：解：（1）①故答案為： ，，，2，， ，．
函式y=x+的圖象如圖：
②答：函式兩條不同型別的性質是：當0＜x＜1時，y 隨x的增大而減小，當x＞1時，y 隨x的增大而增大；當x=1時，函式y=x+（x＞0）的最小值是1．
③解：y=x+=，
=+2，
當=0，即x=1時，函式y=x+（x＞0）的最小值是2，
答：函式y=x+（x＞0）的最小值是2．
（2）答：矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為時，它的周長最小，最小值是4．
點評：本題主要考查對完全平方公式，反比例函式的性質，二次函式的最值，配方法的應用，一次函式的性質等知識點的理解和掌握，能熟練地運用學過的性質進行計算是解此題的關鍵．
3. （2011鹽城，27，12分）情境觀察
將矩形abcd紙片沿對角線ac剪開，得到△abc和△a′c′d，如圖1所示．將△a′c′d的頂點a′與點a重合，並繞點a按逆時針方向旋轉，使點d、a（a′）、b在同一條直線上，如圖2所示．
觀察圖2可知：與bc相等的線段是 ad ，∠cac′= 90 °．
問題**
如圖3，△abc中，ag⊥bc於點g，以a為直角頂點，分別以ab、ac為直角邊，向△abc外作等腰rt△abe和等腰rt△acf，過點e、f作射線ga的垂線，垂足分別為p、q．試**ep與fq之間的數量關係，並證明你的結論．
拓展延伸
如圖4，△abc中，ag⊥bc於點g，分別以ab、ac為一邊向△abc外作矩形abme和矩形acnf，射線ga交ef於點h．若ab=kae，ac=kaf，試**he與hf之間的數量關係，並說明理由．
考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；矩形的性質.
專題：證明題.
分析：①觀察圖形即可發現△abc≌△ac′d，即可解題；
②易證△aep≌△bag，△afq≌△cag，即可求得ep=ag，fq=ag，即可解題；
③根據②的理論即可求得eh=fh，即可解題．
解答：解：①觀察圖形即可發現△abc≌△ac′d，即bc=ad，∠c′ad=∠acb，
∴∠cac′=180°﹣∠c′ad﹣∠cab=90°；
②∵∠faq+∠cag=90°，∠faq+∠afq=90°，∴∠afq=∠cag，同理∠acg=∠faq，
又∵af=ac，∴△afq≌△cag，∴fq=ag，同理ep=ag，∴fq=ep．
③根據②的結論即可求得eh：fh=ag：ag=1，
即he=hf．故答案為：ad，90．
點評：本題考查了全等三角形的證明，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了三角形內角和為180°的性質，考查了等腰三角形腰長相等的性質，本題中求證△afq≌△cag是解題的關鍵．
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